Em P2(R) com o produto interno definido por lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) g(t) d t.
Determine o complemento ortogonal do subespaço W=[5,1+t].

Passo 1

O enunciado trabalha em com o produto interno
e define
Queremos encontrar

Passo 2

Seja um polinômio genérico de grau <=2
p(t)=a + b,t + c,t^2
As condições de ortogonalidade são
lang<= p,5rang<= = integral0^15,(a + b,t + c,t^2),dt = 0,
lang<= p,1+trang<= = integral0^1(a + b,t + c,t^2)(1+t),dt = 0

Passo 3

Calculemos a primeira integral:
lang<= p,5rang<= = 5integral0^1(a + b,t + c,t^2),dt =5l[acdot1 + bcdottfrac12 + ccdottfrac13r] =0
Divide por 5 e obtemos a equação
a + tfrac b2 + tfrac c3 = 0

Passo 4

Agora a segunda integral. Expanda:
(a + b,t + c,t^2)(1+t) = a + (a+b),t + (b+c),t^2 + c,t^3
Integrando de 0 a 1:
lang<= p,1+trang<= = a + a+b2 + b+c3 + c4 =0
Multiplicando por 12:
12a + 6(a+b) + 4(b+c) + 3c = 0 ;Longrightarrow; 18a + 10b + 7c = 0

Passo 5

Resumindo o sistema em
Multiplicando a primeira por . Chamando-a de ( ) e a segunda de ( ), fazemos
Substituindo em ( ):

Passo 6

Logo
p(t)=a + b,t + c,t^2 = -tfrac b6 + b,t - b,t^2 = bl(-tfrac16 + t - t^2r)
Como bneq0 gera todo W^perp, basta tomar o polinômio gerador
q(t) = -tfrac16 + t - t^2

Resposta

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