Verifique se as funções T: V \longrightarrow V são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto, a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. A justificativa deve ter no máximo 2 linhas.
V=\mathbb{R}^{a}, P=M_{2 * 2}, T(x, y, z)=\left(\begin{array}{cc}x+y & x+y \\\ x & z\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3 \to M_{2\times2},\quad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+y & x+y \\[4pt] x & z\end{pmatrix}.
O conteúdo é transformação linear e, se linear, aplicaremos o teorema posto–nulidade para achar posto e nulidade.]

Passo 2

Cada entrada de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z; assim T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u), logo T é linear.

Passo 3

Calculemos as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
T(1,0,0)=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad T(0,1,0)=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad T(0,0,1)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 4

Verificamos que \alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=0 implica \alpha+\beta=0, \alpha=0, \gamma=0,
logo \alpha=\beta=\gamma=0 e as três matrizes são independentes. Portanto
\operatorname{posto}(T)=3.

Passo 5

Pela dimensão do domínio e o teorema posto–nulidade,
\mathrm{nulidade}(T) =\dim(\mathbb{R}^3)-\operatorname{posto}(T) =3-3=0.

Resposta

T é linear, \operatorname{posto}(T)=3, \mathrm{nulidade}(T)=0.

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