Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Os polinômios
e
geram um subespaço de
cuja dimensão é igual 2 .
Os polinômios
Passo 1
O enunciado apresenta dois polinômios em
:
e
,
e pergunta se o subespaço gerado por eles tem dimensão igual a 2. Vamos usar o conceito de independência linear: dois vetores (polinômios) independentes geram um subespaço de dimensão 2.
e pergunta se o subespaço gerado por eles tem dimensão igual a 2. Vamos usar o conceito de independência linear: dois vetores (polinômios) independentes geram um subespaço de dimensão 2.
Passo 2
Para testar independência, consideramos a combinação linear nula:
Logo,
como polinômio idêntico a zero.
Passo 3
Comparando coeficientes dos monômios:
– Coeficiente de :
⇒
.
– Coeficiente de :
.
– Coeficiente de :
, consistente com
.
– Termo constante: , também satisfeito por
.
Portanto, só a combinação trivial anula os polinômios, o que prova que e
são linearmente independentes.
– Coeficiente de
– Coeficiente de
– Coeficiente de
– Termo constante:
Portanto, só a combinação trivial anula os polinômios, o que prova que
Passo 4
Como temos dois polinômios independentes, o subespaço que eles geram tem dimensão 2.
Resposta
CERTA.