No espaço vetorial V=M_{2 x 2}(\mathbb{R}), das matrizes reais quadradas de ordem 2 , munido das operaçőes usuais, é correto afirmar que.
Escolha uma opção:
a. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\ x & 1\end{array}\right), x \in \mathbb{R}, constitui um subespaço vetorial de V.
b. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma \left(\begin{array}{ll}x & 0 \\\\ 1 & y\end{array}\right), x, y \in \mathbb{R}, constitui um subespaço vetorial de V.
c. 0 subconjunto formado por todas as matrizes da forma \left(\begin{array}{ll}1 & y \\\\ 0 & 0\end{array}\right), y \in \mathbb{R}, constitui um subespaço vetorial de V.
d. O subconjunto formado por todas as matrizes da forma \left(\begin{array}{ll}x & 0 \\\\ 0 & y\end{array}\right), x, y \in \mathbb{R}, constitui um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M_{2\times 2}(\mathbb{R}) (todas as matrizes reais 2\times2) e apresenta quatro subconjuntos, cada um dado por uma forma paramétrica de matriz. Queremos saber qual deles é subespaço de V. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. contém a matriz zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisando a opção (a): \displaystyle W_a = \Bigl\{\begin{pmatrix}0 & 1 \\\ x & 1\end{pmatrix}\colon x\in\mathbb{R}\Bigr\}.
A matriz zero em V é
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Em W_a o elemento da posição (1,2) é sempre 1, mas em O esse elemento vale 0. Logo O\notin W_a e W_a não satisfaz (1). Portanto não é subespaço.

Passo 3

Analisando a opção (b): \displaystyle W_b = \Bigl\{\begin{pmatrix}x & 0 \\\\ 1 & y\end{pmatrix}\colon x,y\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Novamente o elemento da posição (2,1) vale sempre 1 em W_b, mas em O vale 0. Assim O\notin W_b e falha a condição (1). Logo não é subespaço.

Passo 4

Analisando a opção (c): \displaystyle W_c = \Bigl\{\begin{pmatrix}1 & y \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\colon y\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Aqui o elemento da posição (1,1) é sempre 1. Como em O esse elemento é 0, temos O\notin W_c. Falha em conter a matriz zero, logo não é subespaço.

Passo 5

Analisando a opção (d): \displaystyle W_d = \Bigl\{\begin{pmatrix}x & 0 \\\\ 0 & y\end{pmatrix}\colon x,y\in\mathbb{R}\Bigr\}.
  1. A matriz zero O=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} corresponde a x=0, y=0, logo O\in W_d.
  2. Se A=\begin{pmatrix}x_1&0\\\ 0&y_1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}x_2&0\\\ 0&y_2\end{pmatrix} estão em W_d, então
A+B = \begin{pmatrix}x_1+x_2 & 0 \\[6pt] 0 & y_1+y_2\end{pmatrix}
também tem forma diagonal e, com x_1+x_2,y_1+y_2\in\mathbb{R}, fica em W_d.
3. Para escalar \lambda\in\mathbb{R},
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda x_1 & 0 \\[3pt] 0 & \lambda y_1\end{pmatrix},
que é diagonal, logo em W_d.
Assim W_d satisfaz todas as condições de subespaço.]

Resposta

d

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