Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x>1 \\\\ 3 x-1, & \text { se } x<1\end{cases}
Para que valores de x tem-se que f(x)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x>1,\\\\ 3x-1, & \text{se }x<1, \end{cases}
e pede os valores de x tais que f(x)=0. Vamos resolver a equação em cada ramo, sempre verificando se a solução pertence à região indicada.

Passo 2

No ramo x>1 temos a equação
x^{2}-1=0.
Isso dá x^{2}=1, ou seja x=\pm1. Mas desse par apenas x=1 poderia ser maior que 1, e na verdade x=1 não satisfaz x>1. Logo, não há solução válida neste ramo.

Passo 3

No ramo x<1 resolvemos
3x-1=0
que resulta em
3x=1\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{1}{3}.
Como \tfrac{1}{3}<1, essa solução é válida para o ramo.

Resposta

x=\tfrac{1}{3}

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