Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x>1 \\\\ 3 x-1, & \text { se } x<1\end{cases}
Seja h(x)=\frac{1}{f(x)}. Determinar o domínio de h.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x>1,\\\\ 3x-1, & \text{se }x<1, \end{cases}
e pede o domínio de
h(x)=\frac{1}{f(x)}.
Para achar o domínio de h precisamos (i) saber onde f está definida e (ii) excluir os pontos em que f(x)=0.

Passo 2

O domínio de f é dado por todas as x tais que x<1 ou x>1. Note que em x=1 não há definição de f, portanto x=1 já fica fora do domínio.

Passo 3

Na parte x>1 temos
f(x)=x^{2}-1.
Para achar zeros, resolvemos
x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Destes, apenas x=1 cairia na equação, mas x=1 não pertence a (1,\infty). Logo, não há zeros de f em (1,\infty).

Passo 4

Na parte x<1 temos
f(x)=3x-1.
Para achar zeros, resolvemos
3x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{3}.
Como \tfrac{1}{3}<1, esse ponto anula f e deve ser excluído do domínio de h.

Passo 5

Portanto, o domínio de h é o domínio de f sem o ponto x=\tfrac{1}{3}. Como x=1 já não está em f, o resultado em forma de intervalo é
(-\infty,\,\tfrac{1}{3})\;\cup\;(\tfrac{1}{3},\,1)\;\cup\;(1,\,\infty).

Resposta

O domínio de h é
\left(-\infty,\tfrac{1}{3}\right)\cup\left(\tfrac{1}{3},1\right)\cup\left(1,\infty\right).

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