Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x>1 \\\\ 3 x-1, & \text { se } x<1\end{cases}
Seja g(x)=f(x-2). Determinar explicitamente g e seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x>1,\\\\ 3x-1, & \text{se }x<1, \end{cases}
e define g(x)=f(x-2).
O conteúdo é composição de funções e deslocamento horizontal de funções definidas por partes, além de determinar o domínio resultante.

Passo 2

Para escrever g(x)=f(x-2), fazemos a mudança de variável
u = x-2,
então
g(x)=f(u).

Passo 3

Agora aplicamos as condições de f em u:
  1. Se u>1, isto é, x-2>1\iff x>3, então
g(x)=u^{2}-1=(x-2)^{2}-1.
  1. Se u<1, isto é, x-2<1\iff x<3, então
g(x)=3u-1=3(x-2)-1=3x-7.

Passo 4

A função f não está definida em u=1, logo g não está definida para
x-2=1\iff x=3.
Portanto o domínio de g é
(-\infty,3)\cup(3,\infty).

Resposta

g(x)= \begin{cases} 3x-7, & \text{se }x<3,\\\ (x-2)^{2}-1, & \text{se }x>3, \end{cases} \quad \Dom(g)=(-\infty,3)\cup(3,\infty).

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