1. no espaço vetorıal v=\mathscr{H}_{3} dos poınomıos ae grau \leq 3, consıgere a base
\beta=\left\{1,1+t,(1+t)^{2},(1+t)^{3}\right\} .
Calcule as coordenadas [v]_{B} e [w]_{B} sabendo que v=4+3 t-t^{2}+2 t^{3} e w=5+t-t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as coordenadas de dois polinômios em relação à base \beta. Informações dadas:
  • Espaço vetorial: \mathscr{H}_{3} (polinômios de grau \le 3).
  • Base \beta=\{\,1,\;1+t,\;(1+t)^{2},\;(1+t)^{3}\,\}.
  • Polinômios fornecidos:
    • v=4+3t-t^{2}+2t^{3}.
    • w=5+t-t^{2}.
      O que se pede: calcular [v]_{\beta} e [w]_{\beta}.

Passo 2

O que são coordenadas em relação a uma base e como vamos proceder (passo-a-passo didático e simples).
  • Definição: as coordenadas [p]_{\beta} de um polinômio p em relação à base \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\} são os escalares a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} tais que
p = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{4}b_{4}.
  • Plano: para cada polinômio ( v e w) escrevemos uma combinação linear desconhecida
a\cdot 1 + b\cdot(1+t) + c\cdot(1+t)^{2} + d\cdot(1+t)^{3},
expandimos (1+t)^{2} e (1+t)^{3}, agrupamos em potências de t e igualamos coeficientes com o polinômio dado. Isso gera um sistema linear em a,b,c,d que resolveremos por substituição (é simples e direto porque o sistema fica em forma triangular).

Passo 3

Expandir os elementos da base e coletar coeficientes em 1,t,t^{2},t^{3}\). - Expansões: \[(1+t)^{2}=1+2t+t^{2},
(1+t)^{3}=1+3t+3t^{2}+t^{3}.
  • Combinação geral:
a\cdot 1 + b\cdot(1+t) + c\cdot(1+2t+t^{2}) + d\cdot(1+3t+3t^{2}+t^{3}).
Agrupando por potências de t obtemos (cada linha é um coeficiente correspondente a 1,t,t^{2},t^{3}):
\begin{cases} \text{constante: } & a + b + c + d,\\[4pt] \text{coef. de }t: & b + 2c + 3d,\\[4pt] \text{coef. de }t^{2}: & c + 3d,\\[4pt] \text{coef. de }t^{3}: & d. \end{cases}
Para qualquer polinômio alvo p = p_{0} + p_{1}t + p_{2}t^{2} + p_{3}t^{3}\] devemos ter o sistema \[\begin{cases} a + b + c + d = p_{0},\\[4pt] b + 2c + 3d = p_{1},\\[4pt] c + 3d = p_{2},\\[4pt] d = p_{3}. \end{cases}\] Observação prática: a última equação já dá \(d, depois encontra-se c, depois b e por fim a — é um sistema triangular fácil de resolver à mão na prova.]

Passo 4

Resolver para v=4+3t-t^{2}+2t^{3}. Aqui p_{0}=4, p_{1}=3, p_{2}=-1, p_{3}=2.
Usando o sistema do passo anterior:
d = p_{3} = 2.
c + 3d = p_{2} \quad\Rightarrow\quad c + 3\cdot 2 = -1 \quad\Rightarrow\quad c + 6 = -1 \quad\Rightarrow\quad c = -7.
b + 2c + 3d = p_{1} \quad\Rightarrow\quad b + 2(-7) + 3\cdot 2 = 3.
Calcular passo a passo:
2(-7) = -14,\qquad 3\cdot 2 = 6,\qquad -14 + 6 = -8,
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b -8 = 3 \quad\Rightarrow\quad b = 11.
Por fim,
a + b + c + d = p_{0} \quad\Rightarrow\quad a + 11 + (-7) + 2 = 4.
Calcular soma conhecida:
11 -7 + 2 = 6,
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a + 6 = 4 \quad\Rightarrow\quad a = -2.
Portanto os coeficientes são a=-2,\; b=11,\; c=-7,\; d=2.

Passo 5

Interpretação e escrita de [v]_{\beta}.
  • As coordenadas de v na base \beta são os escalares encontrados na ordem da base: primeiro o coeficiente de 1, depois de 1+t, depois de (1+t)^{2} e por fim de (1+t)^{3}.
  • Assim
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]11\\[4pt]-7\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver para w=5+t-t^{2}. Aqui p_{0}=5, p_{1}=1, p_{2}=-1, p_{3}=0.
Usando o mesmo sistema:
d = p_{3} = 0.
c + 3d = p_{2} \quad\Rightarrow\quad c + 3\cdot 0 = -1 \quad\Rightarrow\quad c = -1.
b + 2c + 3d = p_{1} \quad\Rightarrow\quad b + 2(-1) + 3\cdot 0 = 1.
2(-1) = -2,\quad\text{logo } b -2 = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 3.
a + b + c + d = p_{0} \quad\Rightarrow\quad a + 3 + (-1) + 0 = 5.
3 -1 = 2,\quad a + 2 = 5 \quad\Rightarrow\quad a = 3.
Portanto a=3,\; b=3,\; c=-1,\; d=0.

Passo 7

Interpretação e escrita de [w]_{\beta}, e dica rápida para a prova.
  • Coordenadas de w na base \beta:
[w]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Dica de prova: sempre que a base for \{1,(1+t),(1+t)^{2},(1+t)^{3}\} o sistema fica triangular no sentido de encontrar primeiro o coeficiente de t^{3} (que é d), depois de t^{2} (que dá c), etc. Isso economiza tempo e reduz erros na hora da prova. Força aí — você já consegue resolver esse tipo de questão de olhos fechados com prática!]

Resposta

[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]11\\[4pt]-7\\[4pt]2\end{pmatrix}
[w]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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