No espaço vetorial V dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , considere a seguinte base
1,1-t,(1-t)^2,(1-t)^3
Determine as coordenadas de cada um dos vetores de V, apresentados abaixo, na base em questão:
u=2-3 t+t^2+2 t^3;

Passo 1

O enunciado define o espaço V dos polinômios de grau <=3 com a base
B=,1,;1-t,;(1-t)^2,;(1-t)^3
e pede as coordenadas de
u=2-3t+t^2+2t^3
na base B. Para isso, vamos escrever
u = acdot1 + b,(1-t) + c,(1-t)^2 + d,(1-t)^3
e determinar a,b,c,d igualando coeficientes.

Passo 2

Expandindo a combinação linear em função de potências de t, temos
a + b(1 - t) + c(1 - t)^2 + d(1 - t)^3 = (a + b + c + d) + (-(b + 2c + 3d)),t + (c + 3d),t^2 + (-d),t^3

Passo 3

Comparando com
u = 2 - 3t + 1cdot t^2 + 2cdot t^3
obtemos o sistema
a + b + c + d = 2, -(b + 2c + 3d) = -3, c + 3d = 1, -d = 2

Passo 4

Resolvendo em ordem:
Da quarta equação vem d=-2.
Substituindo na terceira, c+3(-2)=1 c=7.
Na segunda, b+2cdot7+3(-2)=3 leva a b=-5.
Finalmente, na primeira, a+(-5)+7+(-2)=2 a=2.

Resposta

As coordenadas de u na base B são
[,u,]B = (2,,-5,,7,,-2)

Exercícios relacionados