Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 3 sobre R. Determine se as matrizes abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes:
A=(ccc2 & 1 & -1 3 & -2 & 4), B=(ccc1 & 1 & -3 -2 & 0 & 5) e C=(ccc4 & -1 & 2 1 & -2 & -3).

Passo 1

O enunciado dá três matrizes
A=2 & 1 & -1 3 & -2 & 4, B=1 & 1 & -3 -2 & 0 & 5, C=4 & -1 & 2 1 & -2 & -3
em V=R^2times3 e pede para decidir se elas são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos usar a definição: A,B,C são linearmente dependentes se existe (alpha,beta,gamma)neq(0,0,0) tal que
alpha A + beta B + gamma C = 02times3

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos a matriz nula:
alpha A + beta B + gamma C = 2alpha + beta + 4gamma & alpha + beta - gamma & -alpha - 3beta + 2gamma 3alpha - 2beta + gamma & -2alpha - 2gamma & 4alpha + 5beta - 3gamma = 0&0&00&0&0
Isso gera um sistema de seis equações lineares em alpha,beta,gamma.

Passo 3

Do elemento (2,2) obtemos
-2alpha - 2gamma = 0 Longrightarrow alpha + gamma = 0 Longrightarrow gamma = -alpha

Passo 4

Substituindo gamma=-alpha nas equações de (1,1) e (1,2), temos
2alpha + beta + 4(-alpha) = 0 ;Longrightarrow; beta - 2alpha = 0 ;Longrightarrow; beta = 2alpha,
alpha + beta - (-alpha) = 0 ;Longrightarrow; 2alpha + beta = 0 ;Longrightarrow; beta = -2alpha
Comparando beta=2alpha com beta=-2alpha resulta 4alpha=0, logo alpha=0. Então beta=0 e gamma=0.

Passo 5

O único trio (alpha,beta,gamma) que satisfaz todas as equações é (0,0,0). Isso significa que não existe combinação linear não trivial que anule A,B,C.

Resposta

As matrizes A, B e C são linearmente independentes.

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