Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre R. Determine se u, v, w in V são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
u=t^3-5 t^2-2 t+3, v=t^3-4 t^2-3 t+4, w=2 t^3-7 t^2-7 t+9.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se os polinômios
u(t)=t^3-5t^2-2t+3, v(t)=t^3-4t^2-3t+4, w(t)=2t^3-7t^2-7t+9
são linearmente independentes em V, espaço dos polinômios de grau <=3. Vamos usar a definição de independência linear e escrever esses vetores na base canônica t^3,t^2,t,1.

Passo 2

Pela definição, u,v,w são independentes se a única solução do sistema
alpha,u+beta,v+gamma,w=0
for alpha=beta=gamma=0. Caso haja solução não trivial, eles serão dependentes.

Passo 3

Escrevendo coordenadas em t^3,t^2,t,1, temos
uto(1,,-5,,-2,,3), vto(1,,-4,,-3,,4), wto(2,,-7,,-7,,9)
A combinação alpha u+beta v+gamma w=0 produz o sistema homogêneo
alpha+beta+2gamma=0,
-5alpha-4beta-7gamma=0,
-2alpha-3beta-7gamma=0,
3alpha+4beta+9gamma=0

Passo 4

Da primeira equação vem
alpha=-beta-2gamma
Substituindo na terceira:
-2(-beta-2gamma)-3beta-7gamma=0 ;Longrightarrow;-2(-beta)-4gamma-3beta-7gamma=0 ;Longrightarrow;-,beta-3gamma=0 ;Longrightarrow;beta=-3gamma
Logo alpha=gamma. Verifica-se que as outras duas equações ficam satisfeitas automaticamente. Assim existe solução não trivial
(alpha,beta,gamma)=(gamma,,-3gamma,,gamma), gammaneq0

Passo 5

Como há solução não trivial, u,v,w são linearmente dependentes. Tomando gamma=1 obtemos a relação de dependência
1cdot u-3cdot v+1cdot w=0

Resposta

Os polinômios são linearmente dependentes, com relação
u-3v+w=0

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