Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre
. Determine se
são linearmente independentes ou linearmente dependentes:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se os polinômios
são linearmente independentes em
, espaço dos polinômios de grau
. Vamos usar a definição de independência linear e escrever esses vetores na base canônica
.
Passo 2
Pela definição,
são independentes se a única solução do sistema
for
. Caso haja solução não trivial, eles serão dependentes.
Passo 3
Escrevendo coordenadas em
, temos
A combinação
produz o sistema homogêneo
Passo 4
Da primeira equação vem
Substituindo na terceira:
Logo
. Verifica-se que as outras duas equações ficam satisfeitas automaticamente. Assim existe solução não trivial
Passo 5
Como há solução não trivial,
são linearmente dependentes. Tomando
obtemos a relação de dependência
Resposta
Os polinômios são linearmente dependentes, com relação