Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 3 sobre R. Determine se as matrizes abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes:
A=(ccc1 & -2 & 3 2 & 4 & -1), B=(ccc1 & -1 & 4 4 & 5 & -2) e C=(ccc3 & -8 & 7 2 & 10 & -1);

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V de todas as matrizes 2times3 reais e pede para verificar se as matrizes
A=1 & -2 & 32 & 4 & -1, B=1 & -1 & 44 & 5 & -2, C=3 & -8 & 72 & 10 & -1
são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos ver se existe combinação não trivial
xA + yB + zC = 0

Passo 2

Escrevendo a igualdade na forma de sistema, cada posição da matriz dá uma equação:
x + y + 3z = 0, -2x - y - 8z = 0, 3x + 4y + 7z = 0, 2x + 4y + 2z = 0, 4x + 5y + 10z = 0, -,x -2y - z = 0

Passo 3

Das duas primeiras equações
x + y + 3z = 0, -2x - y - 8z = 0
somamos a primeira vez 2 para eliminar x em uma delas:
(-2x - y -8z) + 2(x + y +3z)=0 Longrightarrow y -2z=0 Longrightarrow y=2z
Substituindo em x + y + 3z=0
x + 2z +3z=0 Longrightarrow x = -5z

Passo 4

Verificamos que (x,y,z)=(-5z,,2z,,z) satisfaz as demais equações do sistema, logo existe solução não trivial. Por exemplo, para z=1 temos
x=-5, y=2, z=1
e
-5A + 2B + 1cdot C = 0

Resposta

As matrizes são linearmente dependentes, com relação não trivial
-5A + 2B + C = 0

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