Sejam (e1, e2, e3) e (a e1, b e2, c e3) bases positivas. Qual é a relação entre a, b e c ?

Passo 1

O enunciado diz que l(vec e1,vec e2,vec e3r) é uma base positivamente orientada de R^3 e que l(avec e1,;bvec e2,;cvec e3r) também é uma base positivamente orientada. Em R^3, a orientação de uma base pode ser verificada pelo determinante da matriz de passagem ou, equivalentemente, pelo produto misto (produto vetorial seguido de produto escalar).

Passo 2

Chamemos de D a matriz de passagem da base l(vec e1,vec e2,vec e3r) para l(avec e1,;bvec e2,;cvec e3r). Como cada vetor novo é apenas um escalar vezes o vetor antigo,
D = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c
O determinante de D é
det(D) = a , b , c
Para que a segunda base seja positivamente orientada, é necessário que det(D)>0, pois isso preserva o sentido da base original.

Resposta

abc > 0

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