Quais pares de matrizes são linha equivalentes?
e
B=[cccc3 & 2 & -8 & -21 1 & 0 & -1 & 5 1 & -6 & 14 & -13], C=[cccc1 & -6 & 14 & -13 2 & -2 & 3 & 4 1 & -2 & 4 & -1]
Passo 1
O enunciado dá três matrizes
3times4 :
Queremos saber quais pares são linha equivalentes, ou seja, têm a mesma forma reduzida por linhas (RREF).
Passo 2
Vamos obter a RREF de
A por eliminação gaussiana:
-
eR2 R2-5R1 R3 R3+R1
1 & -4 & 9 & -7 0 & 14 & -35 & 42 0 & -2 & 5 & -6 -
. EntãoR2 tfrac17R2=(0,2,-5,6) R3 R3+R2
1 & -4 & 9 & -7 0 & 2 & -5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 -
Eliminar acima do pivô de
:R2 R1 R1+2R2
1 & 0 & -1 & 5 0 & 2 & -5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 -
Finalmente
, obtendoR2 tfrac12R2
Passo 3
RREF de
B :
-
Troque
para ter pivô 1:R1rightarrow R2
1 & 0 & -1 & 5 3 & 2 & -8 & -21 1 & -6 & 14 & -13 -
,R2 R2-3R1 :R3 R3-R1
1 & 0 & -1 & 5 0 & 2 & -5 & -36 0 & -6 & 15 & -18 -
Escale
e façaR2to12R2=(0,1,-tfrac52,-18) :R3 R3+6R2
1 & 0 & -1 & 5 0 & 1 & -tfrac52 & -18 0 & 0 & 0 & -126 -
Escale
e elimine acima em colunas 4:R3to -tfrac1126R3=(0,0,0,1)
RREF(B)= 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & -tfrac52 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
logo .rank(B)=3
Passo 4
RREF de
C :
-
:R2 R2-2R1,;R3 R3-R1
1 & -6 & 14 & -13 0 & 10 & -25 & 30 0 & 4 & -10 & 12 -
Escale
e entãoR2to15R2=(0,2,-5,6) :R3 R3-2R2
1 & -6 & 14 & -13 0 & 2 & -5 & 6 0 & 0 & 0 & 0 -
Elimine em
:R1 , depois escaleR1 R1+3R2 :R2totfrac12R2
RREF(C)= 1 & 0 & -1 & 5 0 & 1 & -tfrac52 & 3 0 & 0 & 0 & 0
Passo 5
Comparando as formas reduzidas:
RREF(A)=RREF(C) e ambas têm posto
2 , enquanto
RREF(B) é diferente e tem posto
3 .
Resposta
As matrizes
A e
C são linha equivalentes.