Quais pares de matrizes são linha equivalentes? A=[cccc1 & -4 & 9 & -7 5 & -6 & 10 & 7 -1 & 2 & -4 & 1] e B=[cccc3 & 2 & -8 & -21 1 & 0 & -1 & 5 1 & -6 & 14 & -13], C=[cccc1 & -6 & 14 & -13 2 & -2 & 3 & 4 1 & -2 & 4 & -1]

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 3times4:
A= 1 & -4 & 9 & -7 5 & -6 & 10 & 7 -1 & 2 & -4 & 1 , B= 3 & 2 & -8 & -21 1 & 0 & -1 & 5 1 & -6 & 14 & -13 , C= 1 & -6 & 14 & -13 2 & -2 & 3 & 4 1 & -2 & 4 & -1
Queremos saber quais pares são linha equivalentes, ou seja, têm a mesma forma reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Vamos obter a RREF de A por eliminação gaussiana:
A= 1 & -4 & 9 & -7 5 & -6 & 10 & 7 -1 & 2 & -4 & 1 .
  1. R2 R2-5R1 e R3 R3+R1
    1 & -4 & 9 & -7 0 & 14 & -35 & 42 0 & -2 & 5 & -6
  2. R2 tfrac17R2=(0,2,-5,6). Então R3 R3+R2
    1 & -4 & 9 & -7 0 & 2 & -5 & 6 0 & 0 & 0 & 0
  3. Eliminar acima do pivô de R2: R1 R1+2R2
    1 & 0 & -1 & 5 0 & 2 & -5 & 6 0 & 0 & 0 & 0
  4. Finalmente R2 tfrac12R2, obtendo
RREF(A)= 1 & 0 & -1 & 5 0 & 1 & -tfrac52 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

RREF de B:
B= 3 & 2 & -8 & -21 1 & 0 & -1 & 5 1 & -6 & 14 & -13 .
  1. Troque R1rightarrow R2 para ter pivô 1:
    1 & 0 & -1 & 5 3 & 2 & -8 & -21 1 & -6 & 14 & -13
  2. R2 R2-3R1, R3 R3-R1:
    1 & 0 & -1 & 5 0 & 2 & -5 & -36 0 & -6 & 15 & -18
  3. Escale R2to12R2=(0,1,-tfrac52,-18) e faça R3 R3+6R2:
    1 & 0 & -1 & 5 0 & 1 & -tfrac52 & -18 0 & 0 & 0 & -126
  4. Escale R3to -tfrac1126R3=(0,0,0,1) e elimine acima em colunas 4:
    RREF(B)= 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & -tfrac52 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
    logo rank(B)=3.

Passo 4

RREF de C:
C= 1 & -6 & 14 & -13 2 & -2 & 3 & 4 1 & -2 & 4 & -1
  1. R2 R2-2R1,;R3 R3-R1:
    1 & -6 & 14 & -13 0 & 10 & -25 & 30 0 & 4 & -10 & 12
  2. Escale R2to15R2=(0,2,-5,6) e então R3 R3-2R2:
    1 & -6 & 14 & -13 0 & 2 & -5 & 6 0 & 0 & 0 & 0
  3. Elimine em R1: R1 R1+3R2, depois escale R2totfrac12R2:
    RREF(C)= 1 & 0 & -1 & 5 0 & 1 & -tfrac52 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Comparando as formas reduzidas:
RREF(A)=RREF(C) e ambas têm posto 2, enquanto RREF(B) é diferente e tem posto 3.

Resposta

As matrizes A e C são linha equivalentes.

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