Se existirem, determine todas as formas das matrizes erl, e tais que:
(a) Tem posto 1
(b) Tem posto 2
(c) Tem posto 3 .
Passo 1
O enunciado pede as formas gerais de todas as matrizes reais de tamanho cujo posto (ou rank) seja igual a 1, 2 ou 3. Lembrando que, para uma matriz de tamanho , vale sempre
Aqui temos e , logo .
Passo 2
Para a definição diz que todas as colunas de são múltiplos lineares umas das outras, e pelo menos uma coluna é não nula. Se denotarmos as colunas por
então existe com e . Assim, toda matriz de posto 1 pode ser escrita na forma de produto externo
onde e . Em coordenadas: se e ,
Passo 3
Para as duas colunas de devem ser linearmente independentes em . Equivalentemente, pelo menos um dos menores formados por quaisquer duas linhas deve ser não nulo. Em termos concretos, escrevendo
uma condição é, por exemplo,
ou então outro dos três menores possíveis seja não nulo. Geometricamente, isso significa que e formam uma base de um subespaço de dimensão 2 em . Em forma de matriz, qualquer
com (ou outro menor ) tem posto 2.
Passo 4
Para rank(A)=3 seria necessário que min3,2>=3, mas na verdade min3,2=2<3. Logo não existe matriz real de tamanho 3times2 com posto igual a 3.
Resposta
(a) Todas as matrizes de posto 1 são da forma
A = u,v^T, uinR^3setminus0,;vinR^2setminus0
(b) Todas as matrizes de posto 2 são aquelas cujas duas colunas c1,c2inR^3 são linearmente independentes, isto é, em alguma escolha de duas linhas o menor 2times2 é não nulo.
(c) Não existe matriz 3times2 com posto igual a 3.