No espaço vetorial real (M2(R),+, cdot), considere o produto interno lang<= A, Brang<==tr(B^t A), para A, B in M2(R). Se A=(ll1 & 1 0 & 1) e B=(ll1 & 0 0 & 0), calcule: lang<= A, Brang<=,|A|,|B| e d(A, B).

Passo 1

O enunciado situa-se no espaço vetorial real M2(R) equipado com o produto interno
lang<= A,Brang<= = trl(B^tAr)
Precisamos calcular: o produto interno lang<= A,Brang<=, as normas |A| e |B| (onde |X|=raizlang<= X,Xrang<=) e a distância
d(A,B)=|A-B|
Aqui A=1 & 10 & 1 e B=1 & 00 & 0.

Passo 2

Para lang<= A,Brang<= aplicamos diretamente a definição: primeiro
B^t = 1 & 00 & 0
e daí
B^tA = 1 & 00 & 0 1 & 10 & 1 = 1 & 10 & 0
O traço desse produto é
lang<= A,Brang<= = tr(B^tA) = 1 + 0 = 1

Passo 3

Para |A| e |B| usamos |X|=raizlang<= X,Xrang<=. Note que
lang<= A,Arang<= = tr(A^tA) = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 3,
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|A| = raiz3
E
lang<= B,Brang<= = tr(B^tB) = 1^2 + 0 + 0 + 0 = 1,
portanto
|B| = 1

Passo 4

Para a distância fazemos A - B = 0 & 10 & 1. Então
|A-B|^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2
e
d(A,B) = |A-B| = raiz2

Resposta

lang<= A,Brang<= = 1
|A| = raiz3
|B| = 1
d(A,B) = raiz2

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