Dê um exemplo S de um subconjunto de R^4 que:
não seja um subespaço vetorial de R^4 e prove.
obs: não aceitarei outro método de resolução, apenas o que aprendemos na aula.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um conjunto SsubseteqR^4 que não seja subespaço vetorial de R^4.
Para provar que um dado S não é subespaço, usamos os critérios aprendidos em aula: um subespaço precisa satisfazer simultaneamente
  1. 0in S,
  2. se u,vin S então u+vin S,
  3. se vin S e alphainR então alphavin S.

Passo 2

Definimos
S = (x1,x2,x3,x4)inR^4 mid x1 = 1
Este é o hiperplano em que a coordenada x1 vale sempre 1.

Passo 3

Vamos verificar o primeiro critério de subespaço: o vetor nulo
0 = (0,0,0,0)
deve pertencer a S. Mas 0 tem x1=0neq1, logo
0notin S
Como falha em conter o vetor nulo, S não é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

S = (x1,x2,x3,x4)inR^4 mid x1 = 1, que não contém o vetor nulo, logo não é subespaço.

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