Seja (V,+, cdot) espaço vetorial real, munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos:
(c) V=M2(R),lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno do Exercício 3. e T: M2(R) M2(R), tal que
T((ll 1 & 0 0 & 0 ))=(ll 0 & 1 0 & 0 ), T((ll 0 & 1 0 & 0 ))=(ll 1 & 1 2 & 0 ), T((ll 0 & 0 1 & 0 ))=(ll 0 & 0 2 & 0 ) e T((ll 0 & 0 0 & 1 ))=(ll 0 & 0 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial real V = M2(R), munido do produto interno do Exercício 3, que é o produto interno padrão
lang<= A,Brang<= = tr(A^TB)
Queremos verificar se o operador Tcolon M2(R)to M2(R), definido em relação à base canônica
E11,E12,E21,E22 pelas imagens
T(E11)&=E12,& T(E12)&=E11+E12+2E21, T(E21)&=2E21,& T(E22)&=E22,
é auto-adjunto, i.e.\ se satisfaz lang<= T(A),Brang<==lang<= A,T(B)rang<= para todos A,B.

Passo 2

Na base canônica Eij, temos
lang<= Eij,Eklrang<= = de<aik,de<ajl,
ou seja, essa base é ortonormal. Em uma base ortonormal, T é auto-adjunto se e só se a matriz de T nessa base for simétrica.

Passo 3

Escrevemos as colunas da matriz de T na ordem (E11,E12,E21,E22). Pelas definições:
  • T(E11)=0,E11+1,E12+0,E21+0,E22,
  • T(E12)=1,E11+1,E12+2,E21+0,E22,
  • T(E21)=0,E11+0,E12+2,E21+0,E22,
  • T(E22)=0,E11+0,E12+0,E21+1,E22.
    Logo a matriz de T é
M = 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Para ser auto-adjunta, precisaríamos ter M=M^T. Mas observamos que o elemento (3,2) vale 2 enquanto o (2,3) vale 0. Assim Mneq M^T e T não é simétrica. Alternativamente, basta um contraexemplo direto:
lang<= T(E12),E21rang<= =lang<= E11+E12+2E21,E21rang<= =2,
porém
lang<= E12,T(E21)rang<= =lang<= E12,2E21rang<= =0,
logo lang<= T(E12),E21rang<=neqlang<= E12,T(E21)rang<=.

Resposta

O operador T não é auto-adjunto.

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