Seja V=R^2. Fazer um gráfico de um vetor genérico v=(x, y) do domínio e de sua imagem T (v) sob a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 dada por:
a) T(x, y)=(2 x, 0)
b) T(x, y)=(2 x, y)
c) T(x, y)=(-2 x, 2 y)
d) T(x, y)=(3 x,-2 y)
e) T(x, y)=-2(x, y)
f) T(x, y)=(x,-y)

Passo 1

O enunciado pede para, em cada caso, desenharmos num mesmo plano cartesiano
– a seta que vai de (0,0) até o vetor genérico (x,y) (o vetor do domínio),
– e a seta que vai de (0,0) até a sua imagem T(x,y).
O conteúdo é interpretação geométrica de transformações lineares em R^2.

Passo 2

Em todo gráfico usamos o mesmo sistema de coordenadas. Representamos:
– o vetor original (x,y) em cor preta (por exemplo),
– o vetor imagem T(x,y) em cor vermelha.
As setas partem sempre da origem (0,0) até as suas coordenadas.

Passo 3

a) T(x,y)=(2x,0)
A imagem fica sobre o eixo x, com abscissa dobrada e ordenada zero.
Gráfico:
bul<=t seta preta até (x,y),
bul<=t seta vermelha até (2x,0) – projeção de (x,y) no eixo x, esticada em fator 2.

Passo 4

b) T(x,y)=(2x,y)
A imagem tem a mesma ordenada y e a abscissa dobrada.
Gráfico:
bul<=t seta preta até (x,y),
bul<=t seta vermelha até (2x,y) – estica horizontalmente, preservando a altura.

Passo 5

c) T(x,y)=(-2x,2y)
A imagem reflete em relação à origem no eixo x (pois troca o sinal de x), estica em 2 vezes tanto em x quanto em y.
Gráfico:
bul<=t seta preta até (x,y),
bul<=t seta vermelha até (-2x,2y) – reflexo horizontal e ampliação dupla em ambas as direções.

Passo 6

d) T(x,y)=(3x,-2y)
A imagem estica 3 vezes em x, reflete no eixo y e estica 2 vezes em y.
Gráfico:
bul<=t seta preta até (x,y),
bul<=t seta vermelha até (3x,-2y) – ampliação horizontal por 3 e vertical por 2 com reflexão vertical.

Passo 7

e) T(x,y)=-2(x,y)
Isso é o mesmo que T(x,y)=(-2x,-2y). A imagem estica em fator 2 e reflete pela origem.
Gráfico:
bul<=t seta preta até (x,y),
bul<=t seta vermelha até (-2x,-2y) – ampliação dupla com inversão completa de direção.

Passo 8

f) T(x,y)=(x,-y)
A imagem reflete em relação ao eixo x (inverte o sinal de y), mantendo a abscissa.
Gráfico:
bul<=t seta preta até (x,y),
bul<=t seta vermelha até (x,-y) – espelho horizontal, sem escalamento.

Resposta

Para cada item, no mesmo sistema de eixos:
a) seta preta em (x,y), seta vermelha em (2x,0).
b) seta preta em (x,y), seta vermelha em (2x,y).
c) seta preta em (x,y), seta vermelha em (-2x,2y).
d) seta preta em (x,y), seta vermelha em (3x,-2y).
e) seta preta em (x,y), seta vermelha em (-2x,-2y).
f) seta preta em (x,y), seta vermelha em (x,-y).

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