Seja
. Fazer um gráfico de um vetor genérico
do domínio
de sua imagem
(v) sob a transformação linear
dada por:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede para, em cada caso, desenharmos num mesmo plano cartesiano
– a seta que vai de até o vetor genérico
(o vetor do domínio),
– e a seta que vai de até a sua imagem
.
O conteúdo é interpretação geométrica de transformações lineares em .
– a seta que vai de
– e a seta que vai de
O conteúdo é interpretação geométrica de transformações lineares em
Passo 2
Em todo gráfico usamos o mesmo sistema de coordenadas. Representamos:
– o vetor original em cor preta (por exemplo),
– o vetor imagem em cor vermelha.
As setas partem sempre da origem até as suas coordenadas.
– o vetor original
– o vetor imagem
As setas partem sempre da origem
Passo 3
a)
A imagem fica sobre o eixo , com abscissa dobrada e ordenada zero.
Gráfico:
seta preta até
,
seta vermelha até
– projeção de
no eixo
, esticada em fator
.
A imagem fica sobre o eixo
Gráfico:
Passo 4
b)
A imagem tem a mesma ordenada e a abscissa dobrada.
Gráfico:
seta preta até
,
seta vermelha até
– estica horizontalmente, preservando a altura.
A imagem tem a mesma ordenada
Gráfico:
Passo 5
c)
A imagem reflete em relação à origem no eixo (pois troca o sinal de
), estica em
vezes tanto em
quanto em
.
Gráfico:
seta preta até
,
seta vermelha até
– reflexo horizontal e ampliação dupla em ambas as direções.
A imagem reflete em relação à origem no eixo
Gráfico:
Passo 6
d)
A imagem estica vezes em
, reflete no eixo
e estica
vezes em
.
Gráfico:
seta preta até
,
seta vermelha até
– ampliação horizontal por
e vertical por
com reflexão vertical.
A imagem estica
Gráfico:
Passo 7
e)
Isso é o mesmo que . A imagem estica em fator
e reflete pela origem.
Gráfico:
seta preta até
,
seta vermelha até
– ampliação dupla com inversão completa de direção.
Isso é o mesmo que
Gráfico:
Passo 8
f)
A imagem reflete em relação ao eixo (inverte o sinal de
), mantendo a abscissa.
Gráfico:
seta preta até
,
seta vermelha até
– espelho horizontal, sem escalamento.
A imagem reflete em relação ao eixo
Gráfico:
Resposta
Para cada item, no mesmo sistema de eixos:
a) seta preta em , seta vermelha em
.
b) seta preta em , seta vermelha em
.
c) seta preta em , seta vermelha em
.
d) seta preta em , seta vermelha em
.
e) seta preta em , seta vermelha em
.
f) seta preta em , seta vermelha em
.
a) seta preta em
b) seta preta em
c) seta preta em
d) seta preta em
e) seta preta em
f) seta preta em