No espaço vetorial real V dos polinômios de grau menor ou igual a três: P3(I R)=p(t)=alpha t^3+beta t^2+gamma t+theta com alpha, beta, gamma, theta in I R, escreva (se possível) o vetor p(t)=a t^3+b t^2+c t+d como combinação linear dos vetores:
t^3, 3 t^2-t, 1.

Passo 1

O enunciado trabalha em V=P3(R), espaço de dimensão 4, e pede para escrever
p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d
como combinação linear dos vetores
l,t^3,,3t^2-t,,1r.
Como esse conjunto tem apenas 3 vetores, ele gera um subespaço de dimensão no máximo 3, então só polinômios que satisfaçam uma relação de compatibilidade poderão ser escritos nessa forma.

Passo 2

Suponha que existam escalares x,y,z tais que
p(t)=x,t^3+y,(3t^2-t)+zcdot1
Vamos expandir o lado direito para igualar coeficientes.

Passo 3

Expandindo, obtemos
x,t^3+y,(3t^2-t)+z = x,t^3 + 3y,t^2 - y,t + z

Passo 4

Comparando com a,t^3+b,t^2+c,t+d, igualamos coeficientes de cada monômio:
t^3: & x = a, t^2: & 3y = b, t: & -y = c, 1: & z = d
Das duas equações centrais vem
y = b3 e y = -,c Longrightarrow b3 = -,c Long<=ftrightarrow b + 3c = 0

Passo 5

Concluímos que existe combinação linear se, e somente se,
b + 3c = 0
Nessa situação,
x = a, y = -c, z = d,
e portanto
p(t)=a,t^3 ;-; c,(3t^2-t);+;dcdot1

Resposta

O polinômio p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d pode ser escrito como combinação linear de ,t^3,,3t^2-t,,1 se, e somente se,
b + 3c = 0
Nesse caso,
p(t) = a,t^3 ;-;c,(3t^2-t) ;+;dcdot1

Exercícios relacionados