No espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a três: com , escreva (se possível) o vetor como combinação linear dos vetores: .
Passo 1
O enunciado trabalha em , espaço de dimensão 4, e pede para escrever
como combinação linear dos vetores .
Como esse conjunto tem apenas 3 vetores, ele gera um subespaço de dimensão no máximo 3, então só polinômios que satisfaçam uma relação de compatibilidade poderão ser escritos nessa forma.
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que
Vamos expandir o lado direito para igualar coeficientes.
Passo 3
Expandindo, obtemos
Passo 4
Comparando com , igualamos coeficientes de cada monômio:
Das duas equações centrais vem
y = b3 e y = -,c Longrightarrow b3 = -,c Long<=ftrightarrow b + 3c = 0
Passo 5
Concluímos que existe combinação linear se, e somente se,
b + 3c = 0
Nessa situação,
x = a, y = -c, z = d,
e portanto
p(t)=a,t^3 ;-; c,(3t^2-t);+;dcdot1
Resposta
O polinômio p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d pode ser escrito como combinação linear de ,t^3,,3t^2-t,,1 se, e somente se,