Sejam
. Prove que existem
tal que
Dica: Utilize o principio de boa ordem no conjunto
e prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, existe uma combinação inteira
que é exatamente
.
O método sugerido usa o princípio da boa ordem no conjunto
O método sugerido usa o princípio da boa ordem no conjunto
A ideia é definir
e provar que
é o máximo divisor comum de
, logo
e já está escrito como combinação linear de
.
Passo 2
Primeiro,
é não-vazio. Se
, basta tomar
e
. Caso contrário, pelo menos um de
é não-nulo; sem perda de generalidade, digamos
. Então, tomando
e
, temos
logo
. Pelo princípio da boa ordem,
tem um mínimo, que chamamos de
Passo 3
Mostramos que
divide
. Aplique o algoritmo da divisão de inteiros para dividir
por
: existem
com
Reescrevendo
Se
, então
mas
, contradizendo a minimalidade de
. Logo
e
.
Passo 4
De modo totalmente análogo, dividimos
por
e
por
, obtendo restos
. A mesma argumentação força
. Portanto
ou seja,
é um divisor comum de
.
Passo 5
Finalmente, seja
qualquer outro divisor comum de
. Então
,
,
. Logo
divide toda combinação inteira
. Em particular,
. Assim todo divisor comum
satisfaz
, o que mostra que
é o máximo divisor comum. Logo
E como
, existem inteiros
tais que
Resposta
Existem
tais que