Prove as seguintes propriedades, com a, b, c, d in Z
Se b mid a e a mid c, então b mid c

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de transitividade da divisibilidade em Z: dadas a,b,cinZ, se bmid a e amid c, então bmid c. Para isso vamos usar a definição de “divisor” em números inteiros.

Passo 2

Pela definição de divisibilidade, bmid a significa que existem um inteiro m tal que
a = m,b
De modo semelhante, amid c significa que existe um inteiro n tal que
c = n,a

Passo 3

Substituindo a expressão de a na fórmula de c, obtemos
c = n,a = n,(m,b) = (n,m),b
Como o produto de inteiros n,m é um inteiro, concluímos que existe um inteiro k = n,m tal que c = k,b. Isso mostra exatamente que bmid c.

Resposta

b mid c

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