Seja x^2+3 um operador linear tal que T é um divisor do polinômio minimal de T e 1 é o único autovalor de T. Quais são as possíveis formas racionais de ?

Passo 1

A questão diz que temos um operador linear T: R^4to R^4 cujo polinômio minimal é múltiplo de x^2+3 (que é irreduzível sobre R) e cujo único autovalor real é 1. O conteúdo aqui é a teoria dos fatores invariantes e a forma racional (ou Forma de Frobenius) de um operador.

Passo 2

Como só aparece o autovalor 1 e o fator irreduzível x^2+3, o polinômio característico de T em R deve ter grau 4 e ser\
pT(t)=(t-1)^2,(t^2+3)
O polinômio minimal mT(t) tem que dividir pT(t) e conter exatamente um fator t^2+3. Logo só há dois casos possíveis para a potência de (t-1) em mT(t):
  1. mT(t)=(t-1),(t^2+3) (expoente 1 em t-1),
  2. mT(t)=(t-1)^2,(t^2+3) (expoente 2).

Passo 3

Para construir a forma racional usamos a decomposição em fatores invariantes f1mid f2midcdotsmid fk, com fk=mT e sumdeg fi=4.
  • Se mT(t)=(t-1)(t^2+3) (grau 3), temos que somar mais um fator de grau 1 que divide mT, só pode ser t-1. Então os fatores invariantes são
f1(t)=t-1, f2(t)=(t-1)(t^2+3)
A forma racional é a matriz em bloco-diagonal
Cf1oplus Cf2,
onde Cg é a matriz companheira do polinômio g.
- Se mT(t)=(t-1)^2(t^2+3) (grau 4), não sobra espaço para outro fator: só temos
$$f_1(t)=(t-1)2(t2+3).
f1(t)=(t-1)^2(t^2+3) éãúC_{f_1}.
$$

Passo 4

Pronto! Esses são os dois formatos possíveis da Forma Racional de T.

Resposta

As possíveis formas racionais de T são:
  1. Bloco-diagonal de duas matrizes companheiras
    Ct-1;oplus;C(t-1)(t^2+3),
    correspondendo aos fatores invariantes t-1 e (t-1)(t^2+3).
  2. Única matriz companheira
    C(t-1)^2(t^2+3),
    correspondente ao fator invariante (t-1)^2(t^2+3).

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