Seja
um operador linear tal que
é um divisor do polinômio minimal de
e 1 é o único autovalor de
. Quais são as possíveis formas racionais de
?
Passo 1
A questão diz que temos um operador linear
cujo polinômio minimal é múltiplo de
(que é irreduzível sobre
) e cujo único autovalor real é 1. O conteúdo aqui é a teoria dos fatores invariantes e a forma racional (ou Forma de Frobenius) de um operador.
Passo 2
Como só aparece o autovalor 1 e o fator irreduzível
, o polinômio característico de
em
deve ter grau 4 e ser\
O polinômio minimal
tem que dividir
e conter exatamente um fator
. Logo só há dois casos possíveis para a potência de
em
:
-
(expoente 1 em ), -
(expoente 2).
Passo 3
Para construir a forma racional usamos a decomposição em fatores invariantes
, com
e
.
- Se
(grau 3), temos que somar mais um fator de grau 1 que divide , só pode ser . Então os fatores invariantes são
A forma racional é a matriz em bloco-diagonal
onde
- Se
$$f_1(t)=(t-1)2(t2+3).
$$
Passo 4
Pronto! Esses são os dois formatos possíveis da Forma Racional de
.
Resposta
As possíveis formas racionais de
são:
-
Bloco-diagonal de duas matrizes companheirascorrespondendo aos fatores invariantes
e . -
Única matriz companheiracorrespondente ao fator invariante
.