Seja
com polinômio minimal
. Ache as possíveis formas racionais de
para
e
.
Passo 1
A questão dá uma transformação linear T em um espaço de dimensão 6 cujo polinômio minimal é
. O que pedem são as formas racionais (ou seja, a decomposição em blocos de Frobenius) de T sobre e sobre .
Passo 2
Em geral, na forma racional de T procuramos os fatores invariantes
tais que a soma dos graus de
seja 6. Cada
gera um bloco companheiro de grau
.
Passo 3
Sobre , os fatores irreduzíveis de
são
e
, ambos de grau 2. Para ter
e
(grau 4), só há dois casos não-triviais: um bloco de grau 4 para
e um bloco de grau 2 para um dos fatores. Logo temos exatamente duas formas:
“bloco de grau 2” = companheiro de , “bloco de grau 4” = companheiro de
,
“bloco de grau 2” = companheiro de , “bloco de grau 4” = companheiro de
.
“bloco de grau 2” = companheiro de
“bloco de grau 2” = companheiro de
Passo 4
Sobre , o polinômio minimal fatora em quatro lineares distintos
. Novamente precisamos de um bloco de grau 4 para
e de mais um bloco que some grau 2; esse bloco deve corresponder a um fator
de grau 2, ou seja, produto de duas raízes distintas. Há
escolhas de pares de raízes, e cada escolha dá uma forma racional
composta de um bloco companheiro de grau 2 para esse quadrático linearizado e um bloco companheiro de grau 4 para .
composta de um bloco companheiro de grau 2 para esse quadrático linearizado e um bloco companheiro de grau 4 para
Resposta
Sobre :
- C(x^2-2) ⊕ C((x2-2)(x2+1))
- C(x^2+1) ⊕ C((x2-2)(x2+1))
Sobre : para cada escolha de duas raízes distintas de m_T (entre √2, −√2, i, −i) formamos o fator quadrático f_1=(x-α)(x-β). As 6 escolhas dão as 6 formas:
C(f_1) ⊕ C(m_T),
com f_1 variando em { (x-√2)(x+√2), (x-√2)(x-i), (x-√2)(x+i), (x+√2)(x-i), (x+√2)(x+i), (x-i)(x+i) }.
C(f_1) ⊕ C(m_T),
com f_1 variando em { (x-√2)(x+√2), (x-√2)(x-i), (x-√2)(x+i), (x+√2)(x-i), (x+√2)(x+i), (x-i)(x+i) }.