Seja T com polinômio minimal K=R. Ache as possíveis formas racionais de K=C para e .

Passo 1

A questão dá uma transformação linear T em um espaço de dimensão 6 cujo polinômio minimal é mT(x)=(x^2-2)(x^2+1). O que pedem são as formas racionais (ou seja, a decomposição em blocos de Frobenius) de T sobre e sobre .

Passo 2

Em geral, na forma racional de T procuramos os fatores invariantes f1mid f2midcdotsmid fr=mT tais que a soma dos graus de fi seja 6. Cada fi gera um bloco companheiro de grau deg fi.

Passo 3

Sobre , os fatores irreduzíveis de R são mT e x^2-2, ambos de grau 2. Para ter x^2+1 e sumdeg fi=6 (grau 4), só há dois casos não-triviais: um bloco de grau 4 para fr=mT e um bloco de grau 2 para um dos fatores. Logo temos exatamente duas formas:
“bloco de grau 2” = companheiro de mT, “bloco de grau 4” = companheiro de x^2-2,
“bloco de grau 2” = companheiro de (x^2-2)(x^2+1), “bloco de grau 4” = companheiro de x^2+1.

Passo 4

Sobre , o polinômio minimal fatora em quatro lineares distintos C. Novamente precisamos de um bloco de grau 4 para (x-raiz2),(x+raiz2),(x-i),(x+i) e de mais um bloco que some grau 2; esse bloco deve corresponder a um fator mT de grau 2, ou seja, produto de duas raízes distintas. Há f1mid mT escolhas de pares de raízes, e cada escolha dá uma forma racional
composta de um bloco companheiro de grau 2 para esse quadrático linearizado e um bloco companheiro de grau 4 para binom42=6.

Resposta

Sobre :
  1. C(x^2-2) ⊕ C((x2-2)(x2+1))
  2. C(x^2+1) ⊕ C((x2-2)(x2+1))
Sobre : para cada escolha de duas raízes distintas de m_T (entre √2, −√2, i, −i) formamos o fator quadrático f_1=(x-α)(x-β). As 6 escolhas dão as 6 formas:
C(f_1) ⊕ C(m_T),
com f_1 variando em { (x-√2)(x+√2), (x-√2)(x-i), (x-√2)(x+i), (x+√2)(x-i), (x+√2)(x+i), (x-i)(x+i) }.

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