Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de P(R) :
(1) todos os polinômios p com grau igual a 3 ;
(2) todos os polinômios tais que 2 p(0)=p(1);
(3) todos os polinômios tais que p(x) >= 0 com x in[0,1].
(4) todos os polinômios tais que p(x)=p(1-x) para todo x.
(5) todos os polinômios p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 com a0+a1+a2+a3=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em P(R) (o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais), quais dos seguintes subconjuntos são subespaços:
  1. p:deg(p)=3
  2. p:2p(0)=p(1)
  3. p:p(x)>=0 para todo xin[0,1]
  4. p:p(x)=p(1-x) para todo x
  5. p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3:a0+a1+a2+a3=0.
    Para cada caso vamos checar as três condições de subespaço: (i) contém o polinômio zero, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Subconjunto (1): p:deg(p)=3.
– O polinômio zero tem grau -infty, não igual a 3, logo o zero não está no conjunto.
Portanto não é subespaço.

Passo 3

Subconjunto (2): p:2p(0)=p(1).
– Polinômio zero: 2cdot0=0, está no conjunto.
– Soma: se 2p(0)=p(1) e 2q(0)=q(1) então
2(p+q)(0)=2p(0)+2q(0)=p(1)+q(1)=(p+q)(1)
– Escalar: para alphainR,
2(alpha p)(0)=2alpha p(0)=alpha,2p(0)=alpha,p(1)=(alpha p)(1)
Logo (2) satisfaz as três condições e é subespaço.

Passo 4

Subconjunto (3): p:p(x)>=0 em [0,1].
– O polinômio zero satisfaz 0>=0.
– Soma de funções não–negativas é não–negativa, OK.
– Mas se p(x)>=0, para alpha=-1 temos (alpha p)(x)=-p(x)<=0, que em geral não é >=0.
Falta fechamento escalar, então não é subespaço.

Passo 5

Subconjunto (4): p:p(x)=p(1-x).
– Zero: trivially sim.
– Soma:
(p+q)(x)=p(x)+q(x)=p(1-x)+q(1-x)=(p+q)(1-x)
– Escalar:
(alpha p)(x)=alpha p(x)=alpha p(1-x)=(alpha p)(1-x)
Atende tudo, logo é subespaço.

Passo 6

Subconjunto (5): p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 : a0+a1+a2+a3=0.
Note que a condição é p(1)=0.
– Zero: 0(1)=0, OK.
– Soma: se p(1)=0 e q(1)=0 então (p+q)(1)=0.
– Escalar: (alpha p)(1)=alpha,p(1)=0.
Logo é subespaço (é um hiperplano em P3subset P( R)).

Resposta

Os subconjuntos que são subespaços de P(R) são os itens (2), (4) e (5).

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