Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
:
(1) todos os polinômios
com grau igual a 3 ;
(2) todos os polinômios tais que
;
(3) todos os polinômios tais que
.
(4) todos os polinômios tais que
para todo
.
(5) todos os polinômios
com
;
(1) todos os polinômios
(2) todos os polinômios tais que
(3) todos os polinômios tais que
(4) todos os polinômios tais que
(5) todos os polinômios
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em
(o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais), quais dos seguintes subconjuntos são subespaços:
-
-
-
-
-
.
Para cada caso vamos checar as três condições de subespaço: (i) contém o polinômio zero, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Subconjunto (1):
.
– O polinômio zero tem grau , não igual a 3, logo o zero não está no conjunto.
Portanto não é subespaço.
– O polinômio zero tem grau
Portanto não é subespaço.
Passo 3
Subconjunto (2):
.
– Polinômio zero: , está no conjunto.
– Soma: se e
então
– Polinômio zero:
– Soma: se
– Escalar: para
,
Logo (2) satisfaz as três condições e é subespaço.
Passo 4
Subconjunto (3):
.
– O polinômio zero satisfaz .
– Soma de funções não–negativas é não–negativa, OK.
– Mas se , para
temos
, que em geral não é
.
Falta fechamento escalar, então não é subespaço.
– O polinômio zero satisfaz
– Soma de funções não–negativas é não–negativa, OK.
– Mas se
Falta fechamento escalar, então não é subespaço.
Passo 5
Subconjunto (4):
.
– Zero: trivially sim.
– Soma:
– Zero: trivially sim.
– Soma:
– Escalar:
Atende tudo, logo é subespaço.
Passo 6
Subconjunto (5):
.
Note que a condição é .
– Zero: , OK.
– Soma: se e
então
.
– Escalar: .
Logo é subespaço (é um hiperplano em ).
Note que a condição é
– Zero:
– Soma: se
– Escalar:
Logo é subespaço (é um hiperplano em
Resposta
Os subconjuntos que são subespaços de
são os itens (2), (4) e (5).