Exercício 4.12 Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva, para as condições de cada caso:
Focos
e
Focos
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse com centro na origem, focos em
e
e eccentricidade
. O conteúdo aqui é geometria analítica de elipse com eixo maior no eixo
: lembramos que, denotando por
o semi-eixo maior, por
o semi-eixo menor e por
a distância do centro a cada foco, valem
e
Passo 2
Identificamos
como a abscissa de qualquer foco em valor absoluto, logo
Como
, temos
e daí
Passo 3
Usamos agora a relação
. Substituindo
e
:
Passo 4
A equação padrão de elipse com eixo maior sobre o eixo
é
Substituindo
e
obtemos