Exercício 4.12 Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva, para as condições de cada caso:
Focos (-5,0) e (5,0), e=58

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com centro na origem, focos em (-5,0) e (5,0) e eccentricidade e=tfrac58. O conteúdo aqui é geometria analítica de elipse com eixo maior no eixo x: lembramos que, denotando por a o semi-eixo maior, por b o semi-eixo menor e por c a distância do centro a cada foco, valem
c^2 = a^2 - b^2
e
e = ca

Passo 2

Identificamos c como a abscissa de qualquer foco em valor absoluto, logo
c = 5
Como e = ca, temos
58 = ca = 5a
e daí
a = 5(5/8) = 8

Passo 3

Usamos agora a relação ,c^2 = a^2 - b^2. Substituindo a=8 e c=5:
5^2 = 8^2 - b^2 Longrightarrow 25 = 64 - b^2 Longrightarrow b^2 = 64 - 25 = 39

Passo 4

A equação padrão de elipse com eixo maior sobre o eixo x é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a^2 = 64 e b^2 = 39 obtemos
x^264 + y^239 = 1

Resposta

x^264 + y^239 = 1

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