A massa de um elétron é 9,10938188 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}. Determine, com seis algarismos significativos, (a) o valor de \gamma e (b) o valor de \beta para um elétron com uma energia cinética K= 100,000 \mathrm{MeV}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um elétron de massa m = 9{,}10938188\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e queremos sua fator de Lorentz \gamma e sua velocidade relativa \beta=v/c quando sua energia cinética é
K = 100\,000\;\mathrm{MeV}.
Conteúdo: relatividade restrita, cálculos de energia de repouso e relações \displaystyle \gamma = 1 + \frac{K}{m c^2} e \displaystyle \beta=\sqrt{1-\frac1{\gamma^2}}.

Passo 2

Calcular a energia de repouso em MeV:
E_0 = m c^2 = (9{,}10938188\times10^{-31}\,\mathrm{kg})\,(2,99792458\times10^8\,\mathrm{m/s})^2.
Em joule isso dá
E_0 = 9{,}10938188\times10^{-31}\times8{,}98755179\times10^{16}\approx8{,}18710565\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
Convertendo para MeV 1\,\mathrm{MeV}=1{,}602176634\times10^{-13}\,\mathrm{J}:
E_0 = \frac{8{,}18710565\times10^{-14}}{1{,}602176634\times10^{-13}} \approx0{,}51099895\;\mathrm{MeV}.

Passo 3

Calcular \gamma:
\gamma = 1 + \frac{K}{E_0} = 1 + \frac{100\,000}{0{,}51099895} \approx1 + 195694{,}716 =195695{,}716.
Arredondando a seis algarismos significativos:
\gamma = 1{,}95696\times10^{5}.

Passo 4

Calcular \beta pela relação
\beta = \sqrt{1-\frac1{\gamma^2}}.
Como \gamma\approx1{,}95696\times10^5, temos
\frac1{\gamma^2}\approx2{,}61386\times10^{-11},
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\beta = \sqrt{1 - 2{,}61386\times10^{-11}} \approx1 - \frac{2{,}61386\times10^{-11}}2 =1 - 1{,}30693\times10^{-11}.
Assim, com seis algarismos significativos no “gap”,
\beta = 1 - 1{,}30693\times10^{-11} \approx0{,}99999999998693.

Resposta

(a) \displaystyle \gamma = 1{,}95696\times10^{5}.
(b) \displaystyle \beta = 0{,}99999999998693.

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