Seja
o espaço dos polinomios de grau menor ou igual a
e seja
o espaço dos polinomios de grau exatamente igual a
. Verificar se os conjuntos
e
são subespaços vetoriais do espaço vetorial
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial
(polinômios com coeficientes reais) e queremos ver se os conjuntos
(polinômios de grau ≤
) e
(polinômios de grau exatamente
) são subespaços de
. Vamos usar a definição de subespaço vetorial para isso.
Passo 2
Definição de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se (1) contém o vetor zero de
, (2) é fechado sob adição (se
então
) e (3) é fechado sob multiplicação escalar (se
e
então
). Aqui o vetor zero é o polinômio zero.
Passo 3
Verificação de
: (i) o polinômio zero tem grau
, logo
. (ii) Se
e
têm grau ≤
, então
, logo
. (iii) Se
tem grau ≤
e
é real, então
(ou é o polinômio zero), logo
. Portanto
é subespaço.
Passo 4
Verificação de
: (i) o polinômio zero não tem grau
, logo
. Assim já falha em conter o vetor zero. Além disso, se
e
, então
, mostrando que não é fechado sob multiplicação escalar. Logo
não é subespaço.