Seja Rn[X] o espaço dos polinomios de grau menor ou igual a n e seja R=n[X] o espaço dos polinomios de grau exatamente igual a n. Verificar se os conjuntos Rn[X] e R=n[X] são subespaços vetoriais do espaço vetorial R[X].

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial R[X] (polinômios com coeficientes reais) e queremos ver se os conjuntos Rn[X] (polinômios de grau ≤ n) e R=n[X] (polinômios de grau exatamente n) são subespaços de R[X]. Vamos usar a definição de subespaço vetorial para isso.

Passo 2

Definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se (1) contém o vetor zero de V, (2) é fechado sob adição (se u,vin W então u+vin W) e (3) é fechado sob multiplicação escalar (se uin W e lambdainR então lambda uin W). Aqui o vetor zero é o polinômio zero.

Passo 3

Verificação de Rn[X]: (i) o polinômio zero tem grau -infty<= n, logo 0inRn[X]. (ii) Se f e g têm grau ≤ n, então deg(f+g)<=max(deg f,deg g)<= n, logo f+ginRn[X]. (iii) Se f tem grau ≤ n e lambda é real, então deg(lambda f)=deg f<= n (ou é o polinômio zero), logo lambda finRn[X]. Portanto Rn[X] é subespaço.

Passo 4

Verificação de R=n[X]: (i) o polinômio zero não tem grau n, logo 0notinR=n[X]. Assim já falha em conter o vetor zero. Além disso, se finR=n[X] e lambda=0, então lambda f=0notinR=n[X], mostrando que não é fechado sob multiplicação escalar. Logo R=n[X] não é subespaço.

Resposta

Rn[X] é subespaço vetorial de R[X], mas R=n[X] não é subespaço vetorial.

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