Verificar se o conjunto E=C^2(R), é um subespaço vetorial do espaço vetorial C^2(R), onde R é o espaço da funções duas vezes deriváveis de R a valores em ?

Passo 1

Resumo: o exercício pede para verificar se o conjunto F das funções duas vezes deriváveis que satisfazem a equação diferencial homogênea f’’+2f’−4f=0 é subespaço de E=C²(ℝ). O conteúdo aqui é subespaço vetorial e equações diferenciais lineares homogêneas, e vamos precisar mostrar que F não é vazio e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do elemento zero: considere a função zero 0(x)=0 para todo x. Suas derivadas são 0’ = 0 e 0’’ = 0, logo
0'' + 2·0' - 4·0 = 0 + 0 - 0 = 0
portanto 0∈F.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam f e g em F. Queremos mostrar f+g ∈ F. Calculamos
(f+g)"" + 2(f+g)" - 4(f+g) = f"" + g"" + 2(f" + g") - 4(f + g) = (f"" + 2f" - 4f) + (g"" + 2g" - 4g) = 0 + 0 = 0
Logo f+g satisfaz a equação e pertence a F.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja α∈ℝ e f∈F. Então
(αf)"" + 2(αf)" - 4(αf) = αf"" + 2αf" - 4αf = α(f"" + 2f" - 4f) = α·0 = 0
Logo αf ∈ F.

Resposta

F é um subespaço vetorial de E

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