Verificar se o conjunto
, é um subespaço vetorial do espaço vetorial
, onde
é o espaço da funções duas vezes deriváveis de
a valores em
?
Passo 1
Resumo: o exercício pede para verificar se o conjunto F das funções duas vezes deriváveis que satisfazem a equação diferencial homogênea f’’+2f’−4f=0 é subespaço de E=C²(ℝ). O conteúdo aqui é subespaço vetorial e equações diferenciais lineares homogêneas, e vamos precisar mostrar que F não é vazio e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação do elemento zero: considere a função zero 0(x)=0 para todo x. Suas derivadas são 0’ = 0 e 0’’ = 0, logo
portanto 0∈F.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam f e g em F. Queremos mostrar f+g ∈ F. Calculamos
Logo f+g satisfaz a equação e pertence a F.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja α∈ℝ e f∈F. Então
Logo αf ∈ F.
Resposta
F é um subespaço vetorial de E