Verificar se:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=x^{2}+y^{2}\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{3};

Passo 1

O enunciado define W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=x^2+y^2\} e pergunta se W é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos verificar os axiomas de subespaço: conter o vetor zero e fechamento em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. O vetor zero é (0,0,0) e satisfaz 0=0^2+0^2, logo (0,0,0)\in W.

Passo 3

Testamos a soma. Tomemos u=(1,0,1) e v=(1,0,1) em W, pois em ambos 1=1^2+0^2. Então
u+v=(1+1,0+0,1+1)=(2,0,2).
Para pertencer a W, precisaríamos de 2=2^2+0^2=4, o que não ocorre. Logo u+v\notin W, falhando o fechamento em adição.

Passo 4

Como não há fechamento em relação à adição, W não satisfaz os axiomas de subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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