Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à R^6 ? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
P6

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o espaço dos polinômios de grau <=6, denotado por P6, é isomorfo a R^6. O conteúdo principal aqui é o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais: dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão.

Passo 2

Calcular a dimensão de R^6. Por definição,
dim(R^6) = 6

Passo 3

Calcular a dimensão de P6. Um conjunto canônico de base para P6 é
1,,x,,x^2,,x^3,,x^4,,x^5,,x^6,
que tem exatamente 7 elementos. Logo,
dim(P6) = 7

Passo 4

Concluir sobre a existência de isomorfismo. Como um isomorfismo de espaços vetoriais preserva dimensão, não pode existir isomorfismo entre P6 e R^6 porque
dim(P6) = 7 e dim(R^6) = 6,
sendo essas dimensões diferentes.

Resposta

O espaço P6 não é isomorfo a R^6, pois dim(P6)=7neq6=dim(R^6).

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