Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à
? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o espaço dos polinômios de grau
, denotado por
, é isomorfo a
. O conteúdo principal aqui é o conceito de isomorfismo de espaços vetoriais: dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão.
Passo 2
Calcular a dimensão de
. Por definição,
Passo 3
Calcular a dimensão de
. Um conjunto canônico de base para
é
que tem exatamente
elementos. Logo,
Passo 4
Concluir sobre a existência de isomorfismo. Como um isomorfismo de espaços vetoriais preserva dimensão, não pode existir isomorfismo entre
e
porque
sendo essas dimensões diferentes.
Resposta
O espaço
não é isomorfo a
, pois
.