Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à
? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
Passo 1
O enunciado pergunta se o espaço das matrizes coluna de tamanho
, denotado por
, é isomorfo a
. Lembrando que dois espaços vetoriais sobre
são isomorfos se existe um mapeamento linear bijetivo entre eles. Como
e
, faz sentido procurar explicitamente uma aplicação linear que seja bijetora.
Passo 2
Definimos
por
– Linearidade: para quaisquer
e
,
– Injetividade: se
então todos os
da coluna são zero, logo
.
– Sobrejetividade: dado , basta tomar
para .
Portanto é bijetora.
– Sobrejetividade: dado
para
Portanto
Resposta
O espaço
é isomorfo a
via o isomorfismo
.