Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à R^6 ? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
M6,1

Passo 1

O enunciado pergunta se o espaço das matrizes coluna de tamanho 6times1, denotado por M6,1(R), é isomorfo a R^6. Lembrando que dois espaços vetoriais sobre R são isomorfos se existe um mapeamento linear bijetivo entre eles. Como dim M6,1(R)=6 e dimR^6=6, faz sentido procurar explicitamente uma aplicação linear que seja bijetora.

Passo 2

Definimos
por
– Linearidade: para quaisquer e ,
– Injetividade: se então todos os da coluna são zero, logo .
– Sobrejetividade: dado , basta tomar

para .
Portanto é bijetora.

Resposta

O espaço M6,1(R) é isomorfo a R^6 via o isomorfismo
varphil([x1,dots,x6]^Tr)=(x1,dots,x6).

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