As especificações de uma dada droga veterinária exigem 23,2 g de álcool etílico. Uma amostra de 10 análises do produto apresentou um teor médio de álcool de 23,5g com desvio padrão de 0,24 g. Pode-se concluir ao nível de significância de 1 % que o produto satisfaz as condições exigidas (mu=23,2 g) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente precisa verificar se a quantidade média de álcool etílico na droga veterinária realmente atende às especificações que pedem 23,2 g. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses, que nos ajuda a decidir se temos evidências suficientes na amostra para aceitar ou rejeitar uma afirmação sobre a média da população.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média de álcool na droga é igual a 23,2 g, ou seja, H₀: μ = 23,2 g.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média de álcool na droga é diferente de 23,2 g, ou seja, H₁: μ ≠ 23,2 g.
Estamos testando se há diferença significativa na média de álcool em relação ao que é especificado.

Passo 3

O próximo passo é escolher o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Aqui, o nível de significância é de 1%, ou seja, α = 0,01.

Passo 4

Como a amostra é pequena (n = 10) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar o Teste t de Student para uma amostra. Esse teste é apropriado para comparar a média da amostra com a média da população quando o desvio padrão da população é desconhecido.

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barx - musraizn
Onde:
  • barx = 23,5 , g (média da amostra)
  • mu = 23,2 , g (média da população segundo a especificação)
  • s = 0,24 , g (desvio padrão da amostra)
  • n = 10 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
t = 23,5 - 23,20,24raiz10 = 0,30,243,162 = 0,30,0759 approx 3,95

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste bilateral com nível de significância de 1% e graus de liberdade df = n - 1 = 9. Consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico para df = 9 e α = 0,005 de cada lado (já que é bilateral) é aproximadamente 3,25.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t (≈3,95) com o valor crítico (≈3,25):
  • Como 3,95 > 3,25, a gente está na região de rejeição da hipótese nula.

Passo 8

Como o valor calculado de t excede o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, ao nível de significância de 1%, há evidências suficientes para concluir que a média de álcool na droga veterinária não é igual a 23,2 g.

Resposta

Não, ao nível de significância de 1 %, concluímos que o produto não satisfaz as condições exigidas de ter uma média de 23,2 g de álcool etílico.

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