O tempo de montagem de determinados conectores utiliza um processo algum tempo, que dura em média 3,5 segundos. Está sendo analisada a possibilidade de troca deste processo para um outro que que possuir um tempo de montagem menor. Para esta análise foram observados os tempos de montagem de conectores por um operário padrão, utilizando o novo processo e foram anotados os seguintes valores (em segundos):
2,5 2,5 2,6 3,0 3,2 3,5 3,7 3,7 2,1 2,4
2,7 2,8 3,1 3,1 3,6 3,6 2,5 2,9 2,8 3,8
Considerando a situação exposta e utilizando um nível de confiança de 95%.
Determine o intervalo de confiança para o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um processo novo para montar conectores que, em média, leva 3,5 segundos com o processo antigo. A ideia é verificar se o novo processo é realmente mais rápido. Para isso, foram coletados 20 tempos de montagem usando o novo processo. Nosso objetivo é determinar, com 95% de confiança, o intervalo em que a média desse novo processo deve estar. Vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e intervalo de confiança, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os valores dos tempos de montagem coletados:
2,5; 2,5; 2,6; 3,0; 3,2; 3,5; 3,7; 3,7; 2,1; 2,4; 2,7; 2,8; 3,1; 3,1; 3,6; 3,6; 2,5; 2,9; 2,8; 3,8

Passo 3

Vamos calcular a média amostral ( barx). A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações.
barx = sum xin
Somando todos os tempos:
2,5 + 2,5 + 2,6 + 3,0 + 3,2 + 3,5 + 3,7 + 3,7 + 2,1 + 2,4 + 2,7 + 2,8 + 3,1 + 3,1 + 3,6 + 3,6 + 2,5 + 2,9 + 2,8 + 3,8 = 61,4 segundos
Então,
barx = 61,420 = 3,07 segundos

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral ( s). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média.
A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Primeiro, calculamos cada (xi - barx)^2:
(2,5 - 3,07)^2 &= 0,3249 (2,5 - 3,07)^2 &= 0,3249 (2,6 - 3,07)^2 &= 0,2209 (3,0 - 3,07)^2 &= 0,0049 (3,2 - 3,07)^2 &= 0,0169 (3,5 - 3,07)^2 &= 0,1849 (3,7 - 3,07)^2 &= 0,3969 (3,7 - 3,07)^2 &= 0,3969 (2,1 - 3,07)^2 &= 0,9409 (2,4 - 3,07)^2 &= 0,4489 (2,7 - 3,07)^2 &= 0,1369 (2,8 - 3,07)^2 &= 0,0729 (3,1 - 3,07)^2 &= 0,0009 (3,1 - 3,07)^2 &= 0,0009 (3,6 - 3,07)^2 &= 0,2809 (3,6 - 3,07)^2 &= 0,2809 (2,5 - 3,07)^2 &= 0,3249 (2,9 - 3,07)^2 &= 0,0289 (2,8 - 3,07)^2 &= 0,0729 (3,8 - 3,07)^2 &= 0,5329
Somando todos esses valores:
0,3249 + 0,3249 + 0,2209 + 0,0049 + 0,0169 + 0,1849 + 0,3969 + 0,3969 + 0,9409 + 0,4489 + 0,1369 + 0,0729 + 0,0009 + 0,0009 + 0,2809 + 0,2809 + 0,3249 + 0,0289 + 0,0729 + 0,5329 = 5,0361
Agora, dividimos pela quantidade de graus de liberdade ( n - 1 = 19):
s = raiz5,036119 = raiz0,2640 approx 0,5140 segundos

Passo 5

Para construir o intervalo de confiança de 95% para a média, usamos a fórmula:
barx pm talpha/2 times sraizn
Aqui, talpha/2 é o valor da distribuição t de Student para 95% de confiança e 19 graus de liberdade.
Consultando a tabela t, para 19 graus de liberdade e 95% de confiança, t0,025 approx 2,093.

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
3,07 pm 2,093 times 0,5140raiz20
Primeiro, calculamos 0,5140raiz20:
0,51404,4721 approx 0,1150
Agora, multiplicamos por t0,025:
2,093 times 0,1150 approx 0,2403

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
3,07 - 0,2403 = 2,8297
3,07 + 0,2403 = 3,3103
Arredondando para duas casas decimais:
2,83 segundos <= mu <= 3,31 segundos

Resposta

Com 95% de confiança, o intervalo de confiança para o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo é de aproximadamente 2,83 segundos a 3,31 segundos.

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