Questão 8. Resolva o problema de valor inicial:
y^{(4)}-y=\delta(t), \quad y(0)=y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=y^{(3)}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y^{(4)} - y = \delta(t),
com as condições
y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=0.
O conteúdo principal aqui é usar a transformada de Laplace para lidar com a derivada de ordem quatro e o impulso \delta(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
Y(s)=\mathcal L\{y(t)\},
temos
\mathcal L\{y^{(4)}\}=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0)=s^4Y(s)
pois todas as condições iniciais são zero, e
\mathcal L\{\delta(t)\}=1,\quad \mathcal L\{y\}=Y(s).
Logo a equação no domínio de s fica
s^4Y(s)-Y(s)=1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\bigl(s^4-1\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{s^4-1}.

Passo 3

Fatoramos o denominador e fazemos frações parciais:
s^4-1=(s^2-1)(s^2+1)=(s-1)(s+1)(s^2+1).
Procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{1}{(s-1)(s+1)(s^2+1)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+1}.
Multiplicando por (s-1)(s+1)(s^2+1) e igualando coeficientes, obtemos
A=\tfrac14,\quad B=-\tfrac14,\quad C=0,\quad D=-\tfrac12.
Portanto
Y(s) =\frac{1/4}{s-1}-\frac{1/4}{s+1}-\frac{1/2}{s^2+1}.

Passo 4

Agora invertendo a transformada de Laplace termo a termo, usamos
\mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s-1}\}=e^t,\quad \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s+1}\}=e^{-t},\quad \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s^2+1}\}=\sin t.
Assim, para t>0,
y(t) =\frac14\bigl(e^t-e^{-t}\bigr) -\frac12\sin t =\frac12\operatorname{sinh} t-\frac12\sin t.

Resposta

y(t)=\frac14\bigl(e^t-e^{-t}\bigr)-\frac12\sin t, \quad t>0,
com y(t)=0 para t<0 (solução causal).

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