Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em \mathbb{R} :
c) y=x+2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função y=x+2 é crescente ou decrescente em \mathbb{R}.
Informações dadas:
  • A função é y=x+2.
  • O domínio pedido é todo o conjunto dos números reais, isto é, \mathbb{R}.

Passo 2

Definições (explicadas com calma):
  • Dizemos que uma função f é estritamente crescente em um intervalo se, para quaisquer x_1,x_2 no intervalo com x_1<x_2, valer f(x_1)<f(x_2).
  • Dizemos que uma função f é estritamente decrescente em um intervalo se, para quaisquer x_1,x_2 no intervalo com x_1<x_2, valer f(x_1)>f(x_2).
    Essas definições são práticas na prova: pegamos dois pontos quaisquer e comparamos as imagens.

Passo 3

Método 1 — teste da derivada (ideia e por que funciona):
Se uma função f é diferenciável e a derivada f'(x) é positiva para todo x em um intervalo, então f é estritamente crescente nesse intervalo. A intuição é: a derivada mede a inclinação (inclinação positiva = sobe). Para funções lineares isso é muito simples de aplicar.

Passo 4

Aplicando o teste da derivada à função dada:
A função é f(x)=x+2. A derivada de x em relação a x é 1 e a derivada de uma constante é 0. Logo,
f'(x)=1+0=1.
Como 1>0 para todo x\in\mathbb{R}, a derivada é positiva em todo o domínio. Portanto, por essa condição, f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Método 2 — prova direta por desigualdade (sem derivada), útil se quiser justificar sem cálculo:
Tome x_1,x_2\in\mathbb{R} com x_1<x_2. Então
f(x_2)-f(x_1)=(x_2+2)-(x_1+2)=x_2-x_1.
Como x_2-x_1>0 (porque x_1<x_2), segue que f(x_2)-f(x_1)>0, isto é, f(x_2)>f(x_1). Isso mostra diretamente que a função é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 6

Interpretação geométrica e comentário final (para fixar a ideia):
A função y=x+2 é uma reta com coeficiente angular 1 (slope 1) e intercepto 2. Coeficiente angular positivo significa que a reta sobe da esquerda para a direita — por isso é crescente. O termo +2 só desloca a reta para cima, não muda sua inclinação.

Resposta

Crescente em \mathbb{R}

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