Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em
:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é crescente ou decrescente em
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio pedido é todo o conjunto dos números reais, isto é,
.
Passo 2
Definições (explicadas com calma):
- Dizemos que uma função
é estritamente crescente em um intervalo se, para quaisquer no intervalo com , valer . - Dizemos que uma função
é estritamente decrescente em um intervalo se, para quaisquer no intervalo com , valer .
Essas definições são práticas na prova: pegamos dois pontos quaisquer e comparamos as imagens.
Passo 3
Método 1 — teste da derivada (ideia e por que funciona):
Se uma função é diferenciável e a derivada
é positiva para todo
em um intervalo, então
é estritamente crescente nesse intervalo. A intuição é: a derivada mede a inclinação (inclinação positiva = sobe). Para funções lineares isso é muito simples de aplicar.
Se uma função
Passo 4
Aplicando o teste da derivada à função dada:
A função é . A derivada de
em relação a
é
e a derivada de uma constante é
. Logo,
A função é
Como
para todo
, a derivada é positiva em todo o domínio. Portanto, por essa condição,
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Método 2 — prova direta por desigualdade (sem derivada), útil se quiser justificar sem cálculo:
Tome com
. Então
Tome
Como
(porque
), segue que
, isto é,
. Isso mostra diretamente que a função é estritamente crescente em
.
Passo 6
Interpretação geométrica e comentário final (para fixar a ideia):
A função é uma reta com coeficiente angular
(slope
) e intercepto
. Coeficiente angular positivo significa que a reta sobe da esquerda para a direita — por isso é crescente. O termo
só desloca a reta para cima, não muda sua inclinação.
A função
Resposta
Crescente em