Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
Passo 1
O enunciado pede para especificar, para a função
, se ela é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais. Informações dadas: a função é a reta
e o domínio pedido é
. A pergunta é única: classificar a monotonicidade dessa função em
.
Passo 2
Definição (essencial, passo a passo): dizemos que uma função
é estritamente crescente em um intervalo se, para quaisquer pontos
e
do intervalo com
, vale
. Dizemos que é estritamente decrescente se, para quaisquer
, vale
. (Existe também a versão não estrita, com
ou
, mas aqui trabalharemos com as versões estritas.)
Passo 3
Método simples e direto para retas (por que funciona): uma função linear de forma
tem um número
chamado coeficiente angular ou inclinação. Para quaisquer
temos
Como
, o sinal de
coincide com o sinal de
. Portanto:
- se
então para todo , ou seja, é estritamente crescente; - se
então para todo , ou seja, é estritamente decrescente; - se
então é constante.
Essa demonstração é bem direta e é a maneira mais básica (e segura para prova) de julgar monotonicidade de uma reta.
Passo 4
Aplicando ao caso dado: escrevemos
. Aqui o coeficiente angular é
. Como
, para quaisquer
temos
Esse cálculo segue da fórmula do Passo 3, substituindo
.
Passo 5
Interpretação com derivada (opcional, serve como reforço): a derivada de
é
para todo
. Como a derivada é positiva em todo o domínio, isso também indica que a função é estritamente crescente em
. Aqui a ideia é que a derivada mede a taxa de variação instantânea; se for positiva em todo lugar, a função sobe sempre.
Passo 6
Exemplo numérico para “sentir” a afirmação: escolha
e
(aqui
). Calculamos
e
. Como
, a função aumenta quando vamos de
para
; isso condiz com o resultado geral do Passo 4.
Resposta
A função
é estritamente crescente em
.