Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
y=1+5 x

Passo 1

O enunciado pede para especificar, para a função \;y=1+5x\;, se ela é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais. Informações dadas: a função é a reta \;y=1+5x\; e o domínio pedido é \;\mathbb{R}\;. A pergunta é única: classificar a monotonicidade dessa função em \;\mathbb{R}\;.

Passo 2

Definição (essencial, passo a passo): dizemos que uma função f é estritamente crescente em um intervalo se, para quaisquer pontos \;x_1 e \;x_2 do intervalo com \;x_1<x_2, vale \;f(x_1)<f(x_2). Dizemos que é estritamente decrescente se, para quaisquer \;x_1<x_2, vale \;f(x_1)>f(x_2). (Existe também a versão não estrita, com \le ou \ge, mas aqui trabalharemos com as versões estritas.)

Passo 3

Método simples e direto para retas (por que funciona): uma função linear de forma \;f(x)=a+bx\; tem um número b chamado coeficiente angular ou inclinação. Para quaisquer \;x_1<x_2 temos
f(x_2)-f(x_1)=b(x_2-x_1).
Como \;x_2-x_1>0, o sinal de f(x_2)-f(x_1) coincide com o sinal de \;b. Portanto:
  • se \;b>0 então f(x_2)-f(x_1)>0 para todo \;x_1<x_2, ou seja, f é estritamente crescente;
  • se \;b<0 então f(x_2)-f(x_1)<0 para todo \;x_1<x_2, ou seja, f é estritamente decrescente;
  • se \;b=0 então f é constante.
Essa demonstração é bem direta e é a maneira mais básica (e segura para prova) de julgar monotonicidade de uma reta.

Passo 4

Aplicando ao caso dado: escrevemos \;f(x)=1+5x\;. Aqui o coeficiente angular é \;b=5. Como \;5>0, para quaisquer \;x_1<x_2 temos
f(x_2)-f(x_1)=5(x_2-x_1)>0.
Esse cálculo segue da fórmula do Passo 3, substituindo \;b=5.

Passo 5

Interpretação com derivada (opcional, serve como reforço): a derivada de \;f(x)=1+5x\; é \;f'(x)=5 para todo \;x. Como a derivada é positiva em todo o domínio, isso também indica que a função é estritamente crescente em \;\mathbb{R}\;. Aqui a ideia é que a derivada mede a taxa de variação instantânea; se for positiva em todo lugar, a função sobe sempre.

Passo 6

Exemplo numérico para “sentir” a afirmação: escolha \;x_1=0 e \;x_2=1 (aqui \;x_1<x_2). Calculamos \;f(0)=1+5\cdot 0=1 e \;f(1)=1+5\cdot 1=6. Como \;1<6, a função aumenta quando vamos de 0 para 1; isso condiz com o resultado geral do Passo 4.

Resposta

A função \;y=1+5x\; é estritamente crescente em \;\mathbb{R}.

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