Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
y=-3-2 x

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a função dada é crescente ou decrescente em todos os reais. A função fornecida é
y = -3 - 2x.
Informações relevantes: é uma função afim (linear) da forma y = ax + b com coeficiente angular (inclinação) igual a -2. O domínio natural dessa função é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}. A pergunta é: “essa função é crescente ou decrescente em \mathbb{R}?”

Passo 2

Vamos lembrar o conceito que precisamos aplicar, explicado passo a passo e sem pular etapas. Dizemos que uma função f é crescente em um intervalo se, para quaisquer x_1 e x_2 no intervalo com x_1<x_2, ocorrer f(x_1)\le f(x_2). Para estritamente crescente, usa-se f(x_1)<f(x_2). Analogamente, f é decrescente se, para x_1<x_2, sempre f(x_1)\ge f(x_2), e estritamente decrescente se f(x_1)>f(x_2). Não precisa decorar: o que importa é comparar valores para dois pontos com x_1<x_2.

Passo 3

Agora uma propriedade muito prática para funções lineares (afins) como a nossa: se f(x)=ax+b, então para quaisquer x_1<x_2 vale
f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1).
Note que x_2-x_1>0. Logo o sinal de f(x_2)-f(x_1) é exatamente o sinal do coeficiente a. Conclusão prática:
  • se a>0 então f(x_2)-f(x_1)>0 para x_2>x_1, logo f é crescente;
  • se a<0 então f(x_2)-f(x_1)<0 para x_2>x_1, logo f é decrescente;
  • se a=0 então f é constante.
Essa demonstração é direta e dá um procedimento fácil para usar na prova: identifique o coeficiente de x.

Passo 4

Aplique ao caso. Escrevemos a função como f(x)=-2x-3 (mesmo que a ordem dos termos não importe), então o coeficiente a é
a=-2.
Como a=-2<0, pela propriedade do passo anterior temos que f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)<0 sempre que x_2>x_1. Portanto a função é estritamente decrescente em todo o domínio.

Passo 5

Para tornar mais concreto, um exemplo numérico rápido: tome x_1=0 e x_2=1. Então
f(0)=-3,\qquad f(1)=-3-2\cdot1=-5,
e vemos f(1)<f(0), o que confirma o comportamento decrescente. (Esse teste é ilustrativo; a prova geral já foi feita pelo argumento algébrico.)

Resposta

Decrescente em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados