Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a função dada é crescente ou decrescente em todos os reais. A função fornecida é
Informações relevantes: é uma função afim (linear) da forma
com coeficiente angular (inclinação) igual a
. O domínio natural dessa função é todo o conjunto dos números reais
. A pergunta é: “essa função é crescente ou decrescente em
?”
Passo 2
Vamos lembrar o conceito que precisamos aplicar, explicado passo a passo e sem pular etapas. Dizemos que uma função
é crescente em um intervalo se, para quaisquer
e
no intervalo com
, ocorrer
. Para estritamente crescente, usa-se
. Analogamente,
é decrescente se, para
, sempre
, e estritamente decrescente se
. Não precisa decorar: o que importa é comparar valores para dois pontos com
.
Passo 3
Agora uma propriedade muito prática para funções lineares (afins) como a nossa: se
, então para quaisquer
vale
Note que
. Logo o sinal de
é exatamente o sinal do coeficiente
. Conclusão prática:
- se
então para , logo é crescente; - se
então para , logo é decrescente; - se
então é constante.
Essa demonstração é direta e dá um procedimento fácil para usar na prova: identifique o coeficiente de
.
Passo 4
Aplique ao caso. Escrevemos a função como
(mesmo que a ordem dos termos não importe), então o coeficiente
é
Como
, pela propriedade do passo anterior temos que
sempre que
. Portanto a função é estritamente decrescente em todo o domínio.
Passo 5
Para tornar mais concreto, um exemplo numérico rápido: tome
e
. Então
e vemos
, o que confirma o comportamento decrescente. (Esse teste é ilustrativo; a prova geral já foi feita pelo argumento algébrico.)
Resposta
Decrescente em
.