Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e que passa pelo ponto (-3,-2). Determine as raízes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter a equação da reta cujo coeficiente linear (isto é, o termo independente) é -3 e que passa pelo ponto (-3,-2); (2) determinar as raízes dessa reta (os valores de x que fazem y=0).
Informações dadas: o coeficiente linear vale -3 e a reta passa pelo ponto (-3,-2).

Passo 2

Lembrete básico e intuitivo sobre reta no plano: a forma mais usada é a forma angular (ou forma reduzida)
y = mx + b,
onde:
  • y e x são as coordenadas de um ponto qualquer da reta;
  • m é a inclinação (coeficiente angular) da reta — ele indica o quanto y muda quando x aumenta 1;
  • b é o coeficiente linear (também chamado de termo independente) — é o valor de y quando x=0, ou seja, a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y (intercepto em y).
    Aqui já sabemos que b=-3. Nosso objetivo é achar m usando o ponto dado.

Passo 3

Substituímos na fórmula da reta o valor de b e as coordenadas do ponto (-3,-2). Ao colocar x=-3, y=-2 e b=-3 em y=mx+b, obtemos a equação que permite encontrar m:
-2 = m\cdot(-3) + (-3).
Essa equação é só Álgebra básica: uma equação linear em m.

Passo 4

Resolvendo passo a passo a equação para m:
Primeiro escrevemos a equação:
-2 = -3m - 3.
Somamos 3 aos dois lados para isolar o termo com m:
-2 + 3 = -3m - 3 + 3,
ou seja
1 = -3m.
Agora dividimos ambos os lados por -3:
m = \frac{1}{-3} = -\tfrac{1}{3}.
Portanto o coeficiente angular é m = -\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Agora escrevemos a equação da reta com m=-\tfrac{1}{3} e b=-3. Na forma reduzida:
y = -\tfrac{1}{3}x - 3.
Se quiseres uma forma sem fração (forma geral), multiplicando por 3 temos
3y = -x - 9,
ou reorganizando,
x + 3y + 9 = 0.

Passo 6

Para achar as raízes da reta, colocamos y=0 e resolvemos para x. Partimos da forma reduzida:
0 = -\tfrac{1}{3}x - 3.
Isolamos o termo com x: somando 3 aos dois lados,
3 = -\tfrac{1}{3}x.
Multiplicamos ambos os lados por -3 para obter x:
x = 3 \cdot (-3) = -9.
Portanto a reta tem uma única raiz (interseção com o eixo x): x=-9.

Passo 7

Checagem rápida (confere sempre!): substituir o ponto dado (-3,-2) na equação y = -\tfrac{1}{3}x - 3:
-\tfrac{1}{3}\cdot(-3) - 3 = 1 - 3 = -2,
que coincide com a ordenada do ponto, então está correto. E para a raiz x=-9:
-\tfrac{1}{3}\cdot(-9) - 3 = 3 - 3 = 0,
confirmando que é de fato raiz.

Resposta

y = -\tfrac{1}{3}x - 3
Raiz: x = -9

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