1. Um espelho côncavo deve formar a imagem do filamento de uma lâmpada de lanterna sobre uma tela situada a uma distância de 8,00 m do espelho. O filamento possui uma altura igual a 6,00 mm e a altura da imagem é de 36,0 cm. (a) A que distância do vértice do espelho o filamento deve ser colocado? (b) Qual deve ser o raio de curvatura do espelho?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espelhos côncavos! A gente precisa descobrir duas coisas:
(a) a distância em que o filamento da lâmpada deve ser colocado em relação ao espelho para formar uma imagem na tela;
(b) o raio de curvatura desse espelho.
Para isso, vamos usar os conceitos de espelhos esféricos, especificamente espelhos côncavos, e as equações de formação de imagem que relacionam distância do objeto, distância da imagem e a distância focal. Também vamos precisar entender como calcular o raio de curvatura a partir da distância focal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que já temos:
  • Distância entre o espelho e a tela (distância da imagem) = 8,00 m
  • Altura do filamento (altura do objeto) = 6,00 mm = 0,006 m
  • Altura da imagem = 36,0 cm = 0,36 m
Nos espelhos côncavos, a imagem pode ser real ou virtual. Como a imagem está sendo projetada em uma tela, sabemos que é uma imagem real e invertida. Para imagens reais, a distância da imagem (i) é positiva e fica do mesmo lado do objeto em relação ao espelho.

Passo 3

Vamos usar a fórmula dos espelhos:
1f = 1p + 1i
Onde:
  • f é a distância focal do espelho
  • p é a distância do objeto ao espelho
  • i é a distância da imagem ao espelho
Nossa primeira tarefa é encontrar p , a distância do objeto (filamento) ao espelho.

Passo 4

Para isso, precisamos calcular a ampliação linear ( A ) da imagem, que relaciona as alturas do objeto e da imagem:
A = hima>=mhobjeto = 36,0, cm0,6, cm = 60
A ampliação também pode ser expressa em termos das distâncias:
A = -ip
(Note que o sinal negativo indica que, para imagens reais, a imagem é invertida em relação ao objeto.)

Passo 5

Substituindo os valores que temos na equação da ampliação:
60 = -8,00, mp
Resolvendo para p :
p = -8,00, m60 = -0,1333, m = -13,33, cm
O valor negativo indica que o objeto está na frente do espelho, conforme a convenção de sinais.

Passo 6

Agora que temos p , podemos usar a fórmula dos espelhos para encontrar a distância focal f :
1f = 1p + 1i = 1-0,1333, m + 18,00, m = -7,5, m^-1 + 0,125, m^-1 = -7,375, m^-1
Portanto:
f = -17,375, m^-1 approx -0,1351, m = -13,51, cm
O sinal negativo confirma que estamos lidando com um espelho côncavo.

Passo 7

Finalmente, para encontrar o raio de curvatura ( R ) do espelho, usamos a relação:
R = 2f
Substituindo o valor de f :
R = 2 times (-0,1351, m) = -0,2702, m = -27,02, cm
O sinal negativo indica que o raio de curvatura também está associado à concavidade do espelho.

Resposta

(a) O filamento deve ser colocado a aproximadamente 13,33 cm do espelho.
(b) O raio de curvatura do espelho deve ser de aproximadamente 27,02 cm.

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