- Um espelho côncavo deve formar a imagem do filamento de uma lâmpada de lanterna sobre uma tela situada a uma distância de
do espelho. O filamento possui uma altura igual a
e a altura da imagem é de
. (a) A que distância do vértice do espelho o filamento deve ser colocado? (b) Qual deve ser o raio de curvatura do espelho?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espelhos côncavos! A gente precisa descobrir duas coisas:
(a) a distância em que o filamento da lâmpada deve ser colocado em relação ao espelho para formar uma imagem na tela;
(b) o raio de curvatura desse espelho.
(a) a distância em que o filamento da lâmpada deve ser colocado em relação ao espelho para formar uma imagem na tela;
(b) o raio de curvatura desse espelho.
Para isso, vamos usar os conceitos de espelhos esféricos, especificamente espelhos côncavos, e as equações de formação de imagem que relacionam distância do objeto, distância da imagem e a distância focal. Também vamos precisar entender como calcular o raio de curvatura a partir da distância focal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que já temos:
- Distância entre o espelho e a tela (distância da imagem) = 8,00 m
- Altura do filamento (altura do objeto) = 6,00 mm = 0,006 m
- Altura da imagem = 36,0 cm = 0,36 m
Nos espelhos côncavos, a imagem pode ser real ou virtual. Como a imagem está sendo projetada em uma tela, sabemos que é uma imagem real e invertida. Para imagens reais, a distância da imagem (i) é positiva e fica do mesmo lado do objeto em relação ao espelho.
Passo 3
Vamos usar a fórmula dos espelhos:
Onde:
-
é a distância focal do espelho -
é a distância do objeto ao espelho -
é a distância da imagem ao espelho
Nossa primeira tarefa é encontrar
, a distância do objeto (filamento) ao espelho.
Passo 4
Para isso, precisamos calcular a ampliação linear (
) da imagem, que relaciona as alturas do objeto e da imagem:
A ampliação também pode ser expressa em termos das distâncias:
(Note que o sinal negativo indica que, para imagens reais, a imagem é invertida em relação ao objeto.)
Passo 5
Substituindo os valores que temos na equação da ampliação:
Resolvendo para
:
O valor negativo indica que o objeto está na frente do espelho, conforme a convenção de sinais.
Passo 6
Agora que temos
, podemos usar a fórmula dos espelhos para encontrar a distância focal
:
Portanto:
O sinal negativo confirma que estamos lidando com um espelho côncavo.
Passo 7
Finalmente, para encontrar o raio de curvatura (
) do espelho, usamos a relação:
Substituindo o valor de
:
O sinal negativo indica que o raio de curvatura também está associado à concavidade do espelho.
Resposta
(a) O filamento deve ser colocado a aproximadamente 13,33 cm do espelho.
(b) O raio de curvatura do espelho deve ser de aproximadamente 27,02 cm.