Um espelho esférico côncavo cuja distância focal tem módulo 2 cm é colocado a uma distância 7,5 \mathrm{~cm} à esquerda de um espelho esférico convexo de distância focal de módulo 3 cm . Um objeto com altura de 3 cm é colocado a uma distância de 10 c m a esquerda do vértice do espelho côncavo. Determine a distância entre o objeto e sua imagem final no espelho convexo. Determine, também, a altura final dessa imagem.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos (peguei tudo do enunciado):
    • Espelho côncavo (esquerdo): módulo da distância focal 2\\ \text{cm}. Vou adotar a convenção habitual para espelhos esféricos: distância focal \,f>0 para espelho côncavo (convergente). Portanto \;f_{1}=+2\\ \text{cm}.
    • Espelho convexo (direito): módulo da distância focal 3\\ \text{cm}. Para espelho convexo a distância focal é negativa, logo \;f_{2}=-3\\ \text{cm}.
    • Separação entre os vértices dos espelhos: 7{,}5\\ \text{cm}. Ou seja, o vértice do espelho convexo está a 7{,}5\\ \text{cm} à direita do vértice do espelho côncavo.
    • Objeto: altura h_{o}=3\\ \text{cm}, colocado a 10\\ \text{cm} à esquerda do vértice do espelho côncavo. Chamarei a distância objeto-para-o-espelho-côncavo de s_{1}=+10\\ \text{cm} (positivo porque é um objeto real, na frente do espelho).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a distância entre o objeto inicial e a imagem final produzida pelo espelho convexo (ou seja, a distância entre o objeto físico e a imagem que surge por último do sistema).
    2. Determinar a altura final dessa imagem (incluindo orientação: direita/invertida).

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Equação dos espelhos esféricos (equação do fabricante): para qualquer espelho,
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},
onde:
  • \,f é a distância focal (positiva para côncavo, negativa para convexo),
  • \,s é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho, isto é, do lado de onde vem a luz),
  • \,s' é a distância da imagem ao vértice do espelho (positiva se a imagem é real e está na frente do espelho; negativa se a imagem é virtual, atrás do espelho).
  • Ampliação (magnificação) de um espelho:
m=-\frac{s'}{s},
onde m é a razão entre a altura da imagem h' e a altura do objeto h:
h'=m\,h.
O sinal de m indica orientação: m>0 imagem direita (mesma orientação que o objeto), m<0 imagem invertida.
  • Como encadear imagens entre espelhos:
    • Quando um espelho forma uma imagem real em algum ponto do espaço, os raios realmente se cruzam nesse ponto; após o cruzamento os raios continuam e podem atingir outro espelho. Dessa maneira essa imagem real funciona como objeto real para o segundo espelho. A posição do objeto para o segundo espelho é a distância (com o sinal apropriado) entre o vértice do segundo espelho e esse ponto de imagem.
    • Vou aplicar isso no nosso caso: calcular a imagem produzida pelo espelho côncavo (primeiro), usar essa imagem como objeto para o espelho convexo (segundo), e então calcular a imagem final.

Passo 3

Calcular a imagem produzida pelo espelho côncavo (espelho 1).
  • Dados do espelho 1: \;f_{1}=+2\\ \text{cm}, \;s_{1}=+10\\ \text{cm}.
  • Usando a equação dos espelhos:
\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{s_{1}}+\frac{1}{s_{1}'}.
Substituindo:
\frac{1}{2}=\frac{1}{10}+\frac{1}{s_{1}'}.
  • Isolando \dfrac{1}{s_{1}'}:
\frac{1}{s_{1}'}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{5-1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
  • Portanto
s_{1}'=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \text{cm}.
Interpretação do sinal: s_{1}'>0 significa que a imagem produzida pelo espelho côncavo é real e está na frente do espelho (lado do objeto). Em coordenadas com o vértice do espelho côncavo em x=0 e a direita positiva, essa imagem fica a x=-2{,}5\\ \text{cm} (ou seja, 2{,}5\\ \text{cm} à esquerda do vértice do côncavo).

Passo 4

Calcular a altura da imagem intermediária (imagem do espelho côncavo).
  • Ampliação no espelho 1:
m_{1}=-\frac{s_{1}'}{s_{1}}=-\frac{2{,}5}{10}=-\frac{1}{4}=-0{,}25.
  • Altura da imagem produzida pelo espelho 1:
h_{1}=m_{1}\,h_{o}=-\frac{1}{4}\cdot 3\\ \text{cm}=-\tfrac{3}{4}\\ \text{cm}=-0{,}75\\ \text{cm}.
Interpretação: altura negativa indica que essa imagem intermediária está invertida em relação ao objeto e tem altura 0{,}75\\ \text{cm}.

Passo 5

Determinar a posição do objeto para o espelho convexo (espelho 2).
  • Geometria: o vértice do espelho convexo está a 7{,}5\\ \text{cm} à direita do vértice do espelho côncavo. A imagem intermediária está 2{,}5\\ \text{cm} à esquerda do vértice do côncavo (isto é, 2{,}5\\ \text{cm} para a esquerda de x=0). Portanto a distância entre essa imagem intermediária e o vértice do espelho convexo vale
\text{distância} = 7{,}5 + 2{,}5 = 10\\ \text{cm}.â
  • Como essa imagem intermediária é um ponto real (os raios realmente passam por ele) e está à esquerda do vértice do espelho convexo, ele funciona como objeto real para o espelho convexo, com
s_{2}=+10\\ \text{cm}.

Passo 6

Calcular a imagem final produzida pelo espelho convexo (espelho 2).
  • Dados do espelho 2: \;f_{2}=-3\\ \text{cm} (convexo), \;s_{2}=+10\\ \text{cm}.
  • Equação dos espelhos:
\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{s_{2}}+\frac{1}{s_{2}'}
\frac{1}{-3}=\frac{1}{10}+\frac{1}{s_{2}'}.
  • Isolando \dfrac{1}{s_{2}'}:
\frac{1}{s_{2}'}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=-\frac{10+3}{30}=-\frac{13}{30}.
  • Então
s_{2}'=-\frac{30}{13}\\ \text{cm}\approx -2{,}307692\\ \text{cm}.
Interpretação do sinal: s_{2}'<0 indica que a imagem final é virtual e está do lado oposto (atrás) do espelho convexo, a uma distância \dfrac{30}{13}\\ \text{cm} atrás do vértice do convexo.

Passo 7

Calcular a ampliação do espelho convexo e a altura final da imagem.
  • Ampliação do espelho 2:
m_{2}=-\frac{s_{2}'}{s_{2}}=-\frac{-30/13}{10}=+\frac{30}{13\cdot 10}=\frac{3}{13}\approx 0{,}230769.
  • A imagem que serve de objeto para o espelho 2 tinha altura h_{1}=-\tfrac{3}{4}\\ \text{cm}. Portanto a altura final:
h_{f}=m_{2}\,h_{1}=\frac{3}{13}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{9}{52}\\ \text{cm}\approx -0{,}17308\\ \text{cm}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a imagem final está invertida em relação ao objeto original; a altura absoluta é \dfrac{9}{52}\\ \text{cm}\approx0{,}173\\ \text{cm}.

Passo 8

Determinar a distância entre o objeto inicial e a imagem final (posição absoluta da imagem final e diferença).
  • Vamos colocar origem no vértice do espelho côncavo (x=0), eixo positivo para a direita.
    • Objeto: x_{\text{obj}}=-10\\ \text{cm}.
    • Espelho convexo: x_{\text{convex}}=+7{,}5\\ \text{cm}.
    • Imagem final está atrás do convexo a \dfrac{30}{13}\\ \text{cm} (à direita do vértice do convexo), logo sua coordenada é
x_{\text{imagem}}=x_{\text{convex}}+\frac{30}{13}=7{,}5+\frac{30}{13}.
  • Calcular essa soma exatamente:
7{,}5=\frac{15}{2}=\frac{195}{26},\qquad \frac{30}{13}=\frac{60}{26},
x_{\text{imagem}}=\frac{195}{26}+\frac{60}{26}=\frac{255}{26}\\ \text{cm}.
  • Distância entre objeto e imagem final:
\Delta = x_{\text{imagem}}-x_{\text{obj}}=\frac{255}{26}-(-10)=\frac{255}{26}+\frac{260}{26}=\frac{515}{26}\\ \text{cm}.
  • Em forma decimal:
\frac{515}{26}\\ \text{cm}\approx 19{,}807692\\ \text{cm}.

Resposta

\dfrac{515}{26}\\ \text{cm}\approx 19{,}8077\\ \text{cm}
-\dfrac{9}{52}\\ \text{cm}\approx -0{,}17308\\ \text{cm}

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