Um espelho esférico côncavo cuja distância focal tem módulo 2 cm é colocado a uma distância
à esquerda de um espelho esférico convexo de distância focal de módulo 3 cm . Um objeto com altura de 3 cm é colocado a uma distância de
a esquerda do vértice do espelho côncavo. Determine a distância entre o objeto e sua imagem final no espelho convexo. Determine, também, a altura final dessa imagem.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
- Dados numéricos (peguei tudo do enunciado):
- Espelho côncavo (esquerdo): módulo da distância focal
. Vou adotar a convenção habitual para espelhos esféricos: distância focal para espelho côncavo (convergente). Portanto - Espelho convexo (direito): módulo da distância focal
. Para espelho convexo a distância focal é negativa, logo - Separação entre os vértices dos espelhos:
. Ou seja, o vértice do espelho convexo está a à direita do vértice do espelho côncavo. - Objeto: altura
, colocado a à esquerda do vértice do espelho côncavo. Chamarei a distância objeto-para-o-espelho-côncavo de (positivo porque é um objeto real, na frente do espelho).
- Espelho côncavo (esquerdo): módulo da distância focal
- O que o enunciado pede:
- Determinar a distância entre o objeto inicial e a imagem final produzida pelo espelho convexo (ou seja, a distância entre o objeto físico e a imagem que surge por último do sistema).
- Determinar a altura final dessa imagem (incluindo orientação: direita/invertida).
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma).
- Equação dos espelhos esféricos (equação do fabricante): para qualquer espelho,
onde:
-
é a distância focal (positiva para côncavo, negativa para convexo), -
é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho, isto é, do lado de onde vem a luz), -
é a distância da imagem ao vértice do espelho (positiva se a imagem é real e está na frente do espelho; negativa se a imagem é virtual, atrás do espelho). -
Ampliação (magnificação) de um espelho:
onde
é a razão entre a altura da imagem
e a altura do objeto
:
O sinal de
indica orientação:
imagem direita (mesma orientação que o objeto),
imagem invertida.
- Como encadear imagens entre espelhos:
- Quando um espelho forma uma imagem real em algum ponto do espaço, os raios realmente se cruzam nesse ponto; após o cruzamento os raios continuam e podem atingir outro espelho. Dessa maneira essa imagem real funciona como objeto real para o segundo espelho. A posição do objeto para o segundo espelho é a distância (com o sinal apropriado) entre o vértice do segundo espelho e esse ponto de imagem.
- Vou aplicar isso no nosso caso: calcular a imagem produzida pelo espelho côncavo (primeiro), usar essa imagem como objeto para o espelho convexo (segundo), e então calcular a imagem final.
Passo 3
Calcular a imagem produzida pelo espelho côncavo (espelho 1).
- Dados do espelho 1:
, - Usando a equação dos espelhos:
Substituindo:
- Isolando
:
- Portanto
Interpretação do sinal:
significa que a imagem produzida pelo espelho côncavo é real e está na frente do espelho (lado do objeto). Em coordenadas com o vértice do espelho côncavo em
e a direita positiva, essa imagem fica a
(ou seja,
à esquerda do vértice do côncavo).
Passo 4
Calcular a altura da imagem intermediária (imagem do espelho côncavo).
- Ampliação no espelho 1:
- Altura da imagem produzida pelo espelho 1:
Interpretação: altura negativa indica que essa imagem intermediária está invertida em relação ao objeto e tem altura
.
Passo 5
Determinar a posição do objeto para o espelho convexo (espelho 2).
- Geometria: o vértice do espelho convexo está a
à direita do vértice do espelho côncavo. A imagem intermediária está à esquerda do vértice do côncavo (isto é, para a esquerda de ). Portanto a distância entre essa imagem intermediária e o vértice do espelho convexo vale
- Como essa imagem intermediária é um ponto real (os raios realmente passam por ele) e está à esquerda do vértice do espelho convexo, ele funciona como objeto real para o espelho convexo, com
Passo 6
Calcular a imagem final produzida pelo espelho convexo (espelho 2).
- Dados do espelho 2:
(convexo), - Equação dos espelhos:
- Isolando
:
- Então
Interpretação do sinal:
indica que a imagem final é virtual e está do lado oposto (atrás) do espelho convexo, a uma distância
atrás do vértice do convexo.
Passo 7
Calcular a ampliação do espelho convexo e a altura final da imagem.
- Ampliação do espelho 2:
- A imagem que serve de objeto para o espelho 2 tinha altura
. Portanto a altura final:
Interpretação: o sinal negativo indica que a imagem final está invertida em relação ao objeto original; a altura absoluta é
.
Passo 8
Determinar a distância entre o objeto inicial e a imagem final (posição absoluta da imagem final e diferença).
- Vamos colocar origem no vértice do espelho côncavo (x=0), eixo positivo para a direita.
- Objeto:
- Espelho convexo:
- Imagem final está atrás do convexo a
(à direita do vértice do convexo), logo sua coordenada é
- Objeto:
- Calcular essa soma exatamente:
- Distância entre objeto e imagem final:
- Em forma decimal: