Em um espelho esférico, a distância entre um objeto e sua imagem (ambos reais) mede 30 cm . Sabendo que o objeto apresenta altura quatro vezes superior à da imagem, determine o raio de curvatura do espelho.

Passo 1

O enunciado trata de um espelho esférico côncavo no qual o objeto é real e forma imagem real. Sabemos que a distância objeto–imagem soma 30,cm e que a altura do objeto é quatro vezes a da imagem. Vamos usar a relação de ampliação e a equação dos espelhos para encontrar o raio de curvatura.

Passo 2

A ampliação linear é dada por
m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}.
Como h_o = 4\,h_i, temos
\frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{4},
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m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d_i}{d_o} = \frac{1}{4}.

Passo 3

Da relação anterior segue
d_i = \frac{d_o}{4}.
Além disso, o enunciado diz que
d_o + d_i = 30\text{ cm}.

Passo 4

Substituindo d_i = d_o/4 em d_o + d_i = 30 obtemos
d_o + \frac{d_o}{4} = 30 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5\,d_o}{4} = 30 \quad\Longrightarrow\quad d_o = 24\text{ cm},
e então
d_i = \frac{24}{4} = 6\text{ cm}.

Passo 5

Usamos a equação dos espelhos esféricos (fórmula de Gauss):
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{24} + \frac{1}{6} = \frac{1 + 4}{24} = \frac{5}{24},
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f = \frac{24}{5} = 4,8\text{ cm}.

Passo 6

O raio de curvatura R vale o dobro da distância focal:
R = 2f = 2 \times 4,8 = 9,6\text{ cm}.

Resposta

O raio de curvatura do espelho é 9,6,cm.

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