É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar essa relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 40 e 79 anos, e observou em cada uma delas a idade ( X ) e a massa muscular ( Y ).
Massa muscular (Y) | Idade (X) |
---|---|
100.0 | 43 |
116.0 | 45 |
97.0 | 45 |
105.0 | 49 |
100.0 | 53 |
87.0 | 56 |
80.0 | 56 |
76.0 | 58 |
91.0 | 64 |
84.0 | 65 |
68.0 | 67 |
78.0 | 68 |
78.0 | 68 |
82.0 | 71 |
73.0 | 73 |
73.0 | 73 |
65.0 | 76 |
77.0 | 78 |
Dados:
médiaX média
O coeficiente de correlação linear e a reta linear que melhor se ajusta ao modelo é:
A)
B) ;
C) ;
D) ;
E) ;
médiaX
O coeficiente de correlação linear e a reta linear que melhor se ajusta ao modelo é:
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é um exercício de estatística que estuda a relação entre a idade (X) e a massa muscular (Y) de 18 mulheres. A ideia é descobrir se, com o passar da idade, a massa muscular tende a diminuir. Para resolver isso, vamos calcular o coeficiente de correlação linear ®, que nos diz o quanto X e Y estão relacionados, e a reta de regressão linear, que é a linha que melhor representa essa relação nos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de correlação linear $ r $. Ele mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O valor de $ r $ varia entre -1 e 1:
- Se $ r = 1 $, há uma correlação positiva perfeita.
- Se $ r = -1 $, há uma correlação negativa perfeita.
- Se $ r = 0 $, não há correlação linear.
Para calcular $ r $, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ n $ é o número de observações (neste caso, 18).
- $ \sum XY $ é a soma dos produtos de X e Y.
- $ \sum X $, $ \sum Y $ são as somas de X e Y, respectivamente.
- $ \sum X^2 $, $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular cada parte da fórmula:
Primeiro, precisamos das somas:
- $ \sum X = n \times médiaX = 18 \times 61,556 = 1.108,008 $
- $ \sum Y = n \times médiaY = 18 \times 85 = 1.530 $
- $ \sum XY = 91.964 $ (dados fornecidos)
- $ \sum X^2 = 70.362 $
- $ \sum Y^2 = 133.300 $
Agora, aplicando na fórmula:
Passo 4
Calculando o numerador:
Agora, o denominador:
Primeiro a primeira parte dentro da raiz:
Segunda parte dentro da raiz:
Agora, multiplicando as duas partes:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ r $:
Isso quer dizer que há uma forte correlação negativa entre idade e massa muscular, ou seja, conforme a idade aumenta, a massa muscular tende a diminuir.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta de regressão linear, que tem a forma:
Onde:
- $ b $ é o coeficiente angular, que indica a inclinação da reta.
- $ a $ é o coeficiente linear, que é o ponto onde a reta intercepta o eixo Y.
Primeiro, calculamos $ b $ usando:
Mas uma forma mais direta é:
Já temos os valores:
Agora, para encontrar $ a $:
Então, a reta de regressão é aproximadamente:
Resposta
A alternativa correta é:
E) $ r = -0,837 $; $ Y = 148,218 - 1,027x $