É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar essa relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 40 e 79 anos, e observou em cada uma delas a idade ( X ) e a massa muscular ( Y ).
Massa muscular (Y) Idade (X)
100.0 43
116.0 45
97.0 45
105.0 49
100.0 53
87.0 56
80.0 56
76.0 58
91.0 64
84.0 65
68.0 67
78.0 68
78.0 68
82.0 71
73.0 73
73.0 73
65.0 76
77.0 78
Dados:
médiaX =61,556 média Y=85
sumi=1^18 Xi^2=70362 sumi=1^18 Yi^2=133300 sumi=1^18 Xi^square Yi=91964
O coeficiente de correlação linear e a reta linear que melhor se ajusta ao modelo é:
A) r=0,837 ; Y=-148,218-1,027 x ;
B) r=-0,837 ; Y=148,218+1,027 x;
C) r^2=-0,837 ; Y=148,218-1,027 x;
D) r=0,837 ; Y=148,218-1,027 x;
E) r=-0,837 ; Y=148,218-1,027 x;

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um exercício de estatística que estuda a relação entre a idade (X) e a massa muscular (Y) de 18 mulheres. A ideia é descobrir se, com o passar da idade, a massa muscular tende a diminuir. Para resolver isso, vamos calcular o coeficiente de correlação linear ®, que nos diz o quanto X e Y estão relacionados, e a reta de regressão linear, que é a linha que melhor representa essa relação nos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de correlação linear $ r $. Ele mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O valor de $ r $ varia entre -1 e 1:
  • Se $ r = 1 $, há uma correlação positiva perfeita.
  • Se $ r = -1 $, há uma correlação negativa perfeita.
  • Se $ r = 0 $, não há correlação linear.
Para calcular $ r $, usamos a seguinte fórmula:
r
Onde:
  • $ n $ é o número de observações (neste caso, 18).
  • $ \sum XY $ é a soma dos produtos de X e Y.
  • $ \sum X $, $ \sum Y $ são as somas de X e Y, respectivamente.
  • $ \sum X^2 $, $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
Primeiro, precisamos das somas:
  • $ \sum X = n \times médiaX = 18 \times 61,556 = 1.108,008 $
  • $ \sum Y = n \times médiaY = 18 \times 85 = 1.530 $
  • $ \sum XY = 91.964 $ (dados fornecidos)
  • $ \sum X^2 = 70.362 $
  • $ \sum Y^2 = 133.300 $
Agora, aplicando na fórmula:
sum X = n times médiaX = 18 times 61,556 = 1.108,008

Passo 4

Calculando o numerador:
18 times 91.964 = 1.655,352
1.108,008 times 1.530 = 1.695,7252
Numerador = 1.655,352 - 1.695,7252 = -40,3732
Agora, o denominador:
Primeiro a primeira parte dentro da raiz:
18 times 70.362 = 1.266,516
(1.108,008)^2 = 1.229,682
1.266,516 - 1.229,682 = 36,834
Segunda parte dentro da raiz:
18 times 133.300 = 2.397,4
(1.530)^2 = 2.3409
2.397,4 - 2.3409 = 0.0561
Agora, multiplicando as duas partes:
36,834 times 0.0561 = 2.066,4814
E tirando a raiz quadrada:
raiz2.066,4814 approx 45,45

Passo 5

Agora, vamos calcular $ r $:
r
Isso quer dizer que há uma forte correlação negativa entre idade e massa muscular, ou seja, conforme a idade aumenta, a massa muscular tende a diminuir.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta de regressão linear, que tem a forma:
Y = a + bX
Onde:
  • $ b $ é o coeficiente angular, que indica a inclinação da reta.
  • $ a $ é o coeficiente linear, que é o ponto onde a reta intercepta o eixo Y.
Primeiro, calculamos $ b $ usando:
b
Mas uma forma mais direta é:
a
Já temos os valores:
b
Agora, para encontrar $ a $:
b = r times SYSX éé
b = n sum XY - (sum X)(sum Y)n sum X^2 - (sum X)^2
Então, a reta de regressão é aproximadamente:
b = 1.655,352 - 1.695,72521.266,516 - 1.229,682 = -40,373236,834 approx -1,096

Resposta

A alternativa correta é:
E) $ r = -0,837 $; $ Y = 148,218 - 1,027x $

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