Uma fábrica de material elétrico produz lâmpadas que têm duração de vida com distribuição aproximadamente normal, com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas tenha duração de vida média menor do que 725 horas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem uma fábrica que faz lâmpadas e sabe que a vida útil delas segue uma distribuição normal, com média de 800 horas e desvio padrão de 40 horas. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, ao pegar uma amostra aleatória de 16 lâmpadas, a média da vida delas ser menor que 725 horas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Distribuição Normal, Média Amostral e Probabilidade. Vamos dar um passo a passo para calcular essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \sigma $, a média das amostras de tamanho $ n $ também segue uma distribuição normal. Essa distribuição da média amostral tem a mesma média $ \mu $ e um desvio padrão chamado de Erro Padrão ($ SE $), que é dado por:
No nosso caso, $ \mu = 800 $ horas, $ \sigma = 40 $ horas e $ n = 16 $.
Passo 3
Vamos calcular o Erro Padrão ($ SE $):
Isso significa que a distribuição da média das amostras de 16 lâmpadas tem média 800 horas e desvio padrão 10 horas.
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de que a média das 16 lâmpadas seja menor que 725 horas. Para isso, vamos calcular o escore Z, que nos diz quantos desvios padrão a nossa média amostral está afastada da média da distribuição.
A fórmula do escore Z é:
Onde $ \bar{X} $ é a média amostral que estamos analisando, que no caso é 725 horas.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula do Z:
Um escore Z de -7,5 indica que a média amostral está 7,5 desvios padrão abaixo da média da distribuição.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse escore Z na tabela da distribuição normal padrão. Normalmente, consultamos uma tabela Z ou usamos uma calculadora para encontrar essa probabilidade.
No entanto, um escore Z de -7,5 é extremamente baixo. As tabelas de Z geralmente vão até valores de aproximadamente -3,9, e para Z menores que isso, a probabilidade é praticamente zero.
Passo 7
Portanto, a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas tenha uma média de vida menor que 725 horas é praticamente zero.
Resposta
A probabilidade de que a média de vida de 16 lâmpadas seja menor que 725 horas é praticamente zero.