Uma fábrica de material elétrico produz lâmpadas que têm duração de vida com distribuição aproximadamente normal, com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas tenha duração de vida média menor do que 725 horas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem uma fábrica que faz lâmpadas e sabe que a vida útil delas segue uma distribuição normal, com média de 800 horas e desvio padrão de 40 horas. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, ao pegar uma amostra aleatória de 16 lâmpadas, a média da vida delas ser menor que 725 horas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Distribuição Normal, Média Amostral e Probabilidade. Vamos dar um passo a passo para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \sigma $, a média das amostras de tamanho $ n $ também segue uma distribuição normal. Essa distribuição da média amostral tem a mesma média $ \mu $ e um desvio padrão chamado de Erro Padrão ($ SE $), que é dado por:
mu
No nosso caso, $ \mu = 800 $ horas, $ \sigma = 40 $ horas e $ n = 16 $.

Passo 3

Vamos calcular o Erro Padrão ($ SE $):
SE
Isso significa que a distribuição da média das amostras de 16 lâmpadas tem média 800 horas e desvio padrão 10 horas.

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de que a média das 16 lâmpadas seja menor que 725 horas. Para isso, vamos calcular o escore Z, que nos diz quantos desvios padrão a nossa média amostral está afastada da média da distribuição.
A fórmula do escore Z é:
Z = barX - muSE
Onde $ \bar{X} $ é a média amostral que estamos analisando, que no caso é 725 horas.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula do Z:
Z = 725 - 80010 = -7510 = -7,5
Um escore Z de -7,5 indica que a média amostral está 7,5 desvios padrão abaixo da média da distribuição.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse escore Z na tabela da distribuição normal padrão. Normalmente, consultamos uma tabela Z ou usamos uma calculadora para encontrar essa probabilidade.
No entanto, um escore Z de -7,5 é extremamente baixo. As tabelas de Z geralmente vão até valores de aproximadamente -3,9, e para Z menores que isso, a probabilidade é praticamente zero.

Passo 7

Portanto, a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas tenha uma média de vida menor que 725 horas é praticamente zero.

Resposta

A probabilidade de que a média de vida de 16 lâmpadas seja menor que 725 horas é praticamente zero.

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