O peso de componentes mecânicos produzidos por uma determinada empresa é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição Normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida,cujos valores em grama são:
98971021009810110210595102100
Construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança igual a 95 %. Considere sum xi=1100 e sum xi^2=110080.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o peso de componentes mecânicos que seguem uma distribuição Normal. A gente quer descobrir quanta variabilidade tem nesse peso, ou seja, qual é a variância. Para isso, usamos uma amostra de 11 peças com alguns valores de peso e as somas sum xi = 1100 e sum xi^2 = 110080. Vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média da amostra. A média ( barx) é a soma dos pesos dividida pelo número de observações.
barx = sum xin = 110011 = 100 gramas

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância amostral ( s^2). A fórmula para a variância amostral é:
s^2 = sum xi^2 - (sum xi)^2nn - 1
Substituindo os valores:
s^2 = 110080 - (1100)^21110 = 110080 - 11000010 = 8010 = 8 gramas^2

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). A fórmula do intervalo é:
( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 )
Onde:
  • n é o tamanho da amostra (11)
  • s^2 é a variância amostral (8)
  • alpha é o nível de significância (5% para 95% de confiança)
  • chi^2alpha/2 e chi^21 - alpha/2 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para 10 graus de liberdade.

Passo 5

Vamos encontrar os valores críticos chi^20.025 e chi^20.975 para 10 graus de liberdade. Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora:
chi^20.025 = 3.94 chi^20.975 = 20.48

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do intervalo:
( 10 times 820.48, 10 times 83.94 ) = ( 8020.48, 803.94 ) approx (3.91, 20.30)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância do peso dos componentes é aproximadamente entre 3.91 gramas^2 e 20.30 gramas^2.

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