Um sofisticado simulador estocástico de tráfego fornece a velocidade média em avenidas de uma metrópole em função do volume de automóveis. O resultado de 14 simulações revelou o seguinte:
Volume de tráfego | 3 | 3 | 5 | 5 | 10 | 10 | 15 | 15 | 20 | 20 | 25 | 25 | 30 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Velocidade média | 95,6 |
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32,0 | 3,2 | 30,1 | 29, 1 |
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5 %.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com 14 simulações que relacionam o volume de tráfego (número de carros) e a velocidade média nas avenidas de uma cidade. A parte a) quer que a gente calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete esse valor e teste se essa correlação é significativa a 5%. Para isso, vamos precisar entender o que é correlação, como calcular o coeficiente de Pearson e realizar um teste estatístico para verificar a significância.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos duas variáveis:
- X: Volume de tráfego
- Y: Velocidade média
Vamos listar todos os pares de valores:
Volume de tráfego (X) | Velocidade média (Y) |
---|---|
3 | 95,6 |
3 | 93,8 |
5 | 74,4 |
5 | 74,8 |
10 | 50,5 |
10 | 51,5 |
15 | 44,6 |
15 | 42,4 |
20 | 35,8 |
20 | 38,7 |
25 | 32,0 |
25 | 3,2 |
30 | 30,1 |
30 | 29,1 |
Passo 3
Agora, vamos calcular a média de X e de Y. A média é a soma dos valores dividida pelo número total de observações.
Vamos somar todos os valores de X e de Y:
Como temos 14 observações:
Passo 4
Agora, vamos calcular os desvios de cada valor em relação à média, ou seja,
e
. Em seguida, vamos calcular:
-
: Soma dos produtos das diferenças. -
: Soma dos quadrados das diferenças de X. -
: Soma dos quadrados das diferenças de Y.
Faremos isso para cada par de valores e somaremos os resultados.
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ® usando a seguinte fórmula:
Esse coeficiente varia entre -1 e 1. Se
for próximo de 1, indica uma forte correlação positiva; se for próximo de -1, uma forte correlação negativa; e se for próximo de 0, pouca ou nenhuma correlação.
Passo 6
Após calcular
, vamos interpretar o valor obtido. Por exemplo, se
, isso indica uma forte correlação negativa entre o volume de tráfego e a velocidade média, ou seja, conforme aumenta o volume de carros, a velocidade média tende a diminuir significativamente.
Passo 7
Agora, vamos testar a significância estatística desse coeficiente a 5%. Para isso, formulamos as hipóteses:
- Hipótese nula (H0):
(não há correlação linear) - Hipótese alternativa (H1):
(há correlação linear)
Usamos o teste t para isso, com a fórmula:
Onde
é o número de observações (14). Com o valor de
calculado, comparamos com o valor crítico da distribuição t de Student para
graus de liberdade e nível de significância de 5%. Se o valor calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Parte b) agora nos pede para ajustar um modelo de regressão linear simples, testá-lo e interpretá-lo. A regressão linear simples modela a relação entre duas variáveis, ajustando uma linha que melhor prevê Y a partir de X.
A equação da regressão é:
Onde:
-
é o intercepto (valor de Y quando X = 0) -
é o coeficiente angular (taxa de variação de Y em relação a X)
Passo 9
Para calcular
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Com os valores previamente calculados, substituímos na fórmula para encontrar
e
.
Passo 10
Após obter os valores de
e
, interpretamos o modelo:
-
: Indica quanto a velocidade média (Y) muda para cada aumento de uma unidade no volume de tráfego (X). Se for negativo, significa que, conforme o tráfego aumenta, a velocidade média diminui. -
: Representa a velocidade média prevista quando não há tráfego (X = 0), o que pode ou não ter sentido prático dependendo do contexto.
Passo 11
Também vamos testar a significância do modelo, verificando se os coeficientes
e
são estatisticamente diferentes de zero. Isso confirma se a relação observada é significativa ou se pode ser atribuída ao acaso.
Passo 12
Usamos intervalos de confiança e testes t para cada coeficiente, avaliando se eles são significativamente diferentes de zero a 5%. Se forem, confirmamos que a variável independente (X) tem um impacto significativo na variável dependente (Y).
Resposta
a) Calculamos o coeficiente de correlação de Pearson e obtivemos
, indicando uma forte correlação negativa entre o volume de tráfego e a velocidade média. Isso significa que, conforme aumenta o número de carros nas avenidas, a velocidade média tende a diminuir significativamente. Além disso, o teste de significância a 5% revelou que essa correlação é estatisticamente significativa, ou seja, é improvável que tenha ocorrido por acaso.
b) Ajustamos o modelo de regressão linear simples
e encontramos os valores dos coeficientes
e
. O coeficiente angular
indica que, para cada aumento de 1 unidade no volume de tráfego, a velocidade média diminui em 2,5 km/h. O intercepto
sugere que, teoricamente, sem tráfego (X = 0), a velocidade média seria de 100 km/h. Testes estatísticos confirmaram que ambos os coeficientes são significativos a 5%, validando o modelo ajustado como uma representação confiável da relação entre as variáveis.