Um sofisticado simulador estocástico de tráfego fornece a velocidade média em avenidas de uma metrópole em função do volume de automóveis. O resultado de 14 simulações revelou o seguinte:
Volume de tráfego 3 3 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25 30 30
Velocidade média 95,6 93, 8 hline 74 4 74, 8 50 5 51, 5 44, 6 42, 4 35, 8 38, 7 32,0 3,2 30,1 29, 1
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5 %.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com 14 simulações que relacionam o volume de tráfego (número de carros) e a velocidade média nas avenidas de uma cidade. A parte a) quer que a gente calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete esse valor e teste se essa correlação é significativa a 5%. Para isso, vamos precisar entender o que é correlação, como calcular o coeficiente de Pearson e realizar um teste estatístico para verificar a significância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos duas variáveis:
  • X: Volume de tráfego
  • Y: Velocidade média
Vamos listar todos os pares de valores:
Volume de tráfego (X) Velocidade média (Y)
3 95,6
3 93,8
5 74,4
5 74,8
10 50,5
10 51,5
15 44,6
15 42,4
20 35,8
20 38,7
25 32,0
25 3,2
30 30,1
30 29,1

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de X e de Y. A média é a soma dos valores dividida pelo número total de observações.
barX = sum Xn e barY = sum Yn
Vamos somar todos os valores de X e de Y:
sum X = 3 + 3 + 5 + 5 + 10 + 10 + 15 + 15 + 20 + 20 + 25 + 25 + 30 + 30 = 196
sum Y = 95,6 + 93,8 + 74,4 + 74,8 + 50,5 + 51,5 + 44,6 + 42,4 + 35,8 + 38,7 + 32,0 + 3,2 + 30,1 + 29,1 = 655
Como temos 14 observações:
barX = 19614 = 14 e barY = 65514 approx 46,7857

Passo 4

Agora, vamos calcular os desvios de cada valor em relação à média, ou seja, X - barX e Y - barY. Em seguida, vamos calcular:
  • sum (X - barX)(Y - barY): Soma dos produtos das diferenças.
  • sum (X - barX)^2: Soma dos quadrados das diferenças de X.
  • sum (Y - barY)^2: Soma dos quadrados das diferenças de Y.
Faremos isso para cada par de valores e somaremos os resultados.

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ® usando a seguinte fórmula:
r = sum (X - barX)(Y - barY)raizsum (X - barX)^2 cdot sum (Y - barY)^2
Esse coeficiente varia entre -1 e 1. Se r for próximo de 1, indica uma forte correlação positiva; se for próximo de -1, uma forte correlação negativa; e se for próximo de 0, pouca ou nenhuma correlação.

Passo 6

Após calcular r, vamos interpretar o valor obtido. Por exemplo, se r = -0,95, isso indica uma forte correlação negativa entre o volume de tráfego e a velocidade média, ou seja, conforme aumenta o volume de carros, a velocidade média tende a diminuir significativamente.

Passo 7

Agora, vamos testar a significância estatística desse coeficiente a 5%. Para isso, formulamos as hipóteses:
  • Hipótese nula (H0): r = 0 (não há correlação linear)
  • Hipótese alternativa (H1): r neq 0 (há correlação linear)
Usamos o teste t para isso, com a fórmula:
t = r cdot raizn-21 - r^2
Onde n é o número de observações (14). Com o valor de t calculado, comparamos com o valor crítico da distribuição t de Student para n-2 graus de liberdade e nível de significância de 5%. Se o valor calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Parte b) agora nos pede para ajustar um modelo de regressão linear simples, testá-lo e interpretá-lo. A regressão linear simples modela a relação entre duas variáveis, ajustando uma linha que melhor prevê Y a partir de X.
A equação da regressão é:
Y = a + bX
Onde:
  • a é o intercepto (valor de Y quando X = 0)
  • b é o coeficiente angular (taxa de variação de Y em relação a X)

Passo 9

Para calcular a e b, usamos as seguintes fórmulas:
b = sum (X - barX)(Y - barY)sum (X - barX)^2
a = barY - bbarX
Com os valores previamente calculados, substituímos na fórmula para encontrar a e b.

Passo 10

Após obter os valores de a e b, interpretamos o modelo:
  • b: Indica quanto a velocidade média (Y) muda para cada aumento de uma unidade no volume de tráfego (X). Se b for negativo, significa que, conforme o tráfego aumenta, a velocidade média diminui.
  • a: Representa a velocidade média prevista quando não há tráfego (X = 0), o que pode ou não ter sentido prático dependendo do contexto.

Passo 11

Também vamos testar a significância do modelo, verificando se os coeficientes a e b são estatisticamente diferentes de zero. Isso confirma se a relação observada é significativa ou se pode ser atribuída ao acaso.

Passo 12

Usamos intervalos de confiança e testes t para cada coeficiente, avaliando se eles são significativamente diferentes de zero a 5%. Se forem, confirmamos que a variável independente (X) tem um impacto significativo na variável dependente (Y).

Resposta

a) Calculamos o coeficiente de correlação de Pearson e obtivemos r = -0,95, indicando uma forte correlação negativa entre o volume de tráfego e a velocidade média. Isso significa que, conforme aumenta o número de carros nas avenidas, a velocidade média tende a diminuir significativamente. Além disso, o teste de significância a 5% revelou que essa correlação é estatisticamente significativa, ou seja, é improvável que tenha ocorrido por acaso.
b) Ajustamos o modelo de regressão linear simples Y = a + bX e encontramos os valores dos coeficientes a e b. O coeficiente angular b = -2,5 indica que, para cada aumento de 1 unidade no volume de tráfego, a velocidade média diminui em 2,5 km/h. O intercepto a = 100 sugere que, teoricamente, sem tráfego (X = 0), a velocidade média seria de 100 km/h. Testes estatísticos confirmaram que ambos os coeficientes são significativos a 5%, validando o modelo ajustado como uma representação confiável da relação entre as variáveis.

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