A espessura de chapas fabricadas numa indústria está uniformemente distribuída entr 0,84 cm e 1,04 cm.
Qual deve ser a espessura de modo que 40 % das chapas não excedam essa espessura?

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse problema sobre distribuição uniforme. A questão nos diz que a espessura das chapas fabricadas varia de forma uniforme entre 0,84 cm e 1,04 cm. Nosso objetivo é encontrar a espessura que faz com que 40% das chapas tenham uma espessura igual ou menor que esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Nesse tipo de distribuição, todos os intervalos de mesma largura têm a mesma probabilidade de ocorrência. No nosso caso, a espessura das chapas está igualmente distribuída entre 0,84 cm e 1,04 cm.

Passo 3

Para encontrar a espessura que corresponde a 40% das chapas, precisamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição uniforme. A fórmula da CDF para uma distribuição uniforme entre $ a $ e $ b $ é:
a
Onde:
  • $ P(X \leq x) $ é a probabilidade de a espessura ser menor ou igual a $ x $.
  • $ a $ é o limite inferior (0,84 cm).
  • $ b $ é o limite superior (1,04 cm).

Passo 4

Queremos que $ P(X \leq x) = 0,40 $. Substituindo os valores na fórmula:
P(X <= x) = 0,40
Primeiro, calculamos o denominador:
0,40 = x - 0,841,04 - 0,84
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por 0,20:
1,04 - 0,84 = 0,20
0,40 times 0,20 = x - 0,84
Por fim, isolamos $ x $:
0,08 = x - 0,84
x

Resposta

A espessura que garante que 40% das chapas não excedam é 0,92 cm.

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