Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone internet. A taxa média é de 5 pedidos por hora.
Digamos que, no horário do almoço, a indústria fica impossibilitada de atender a mais de doi pedidos por hora. Se o lucro é de 50 reais para cada pedido atendido e o prejuizo è fixo en 200 reais caso pelo menos um pedido não seja atendido, qual o lucro esperado no horário d almoço? Você acha que deveria aumentar o n^circ de atendentes nesse período?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma indústria de tintas que recebe, em média, 5 pedidos por hora através de fax, telefone e internet. No horário do almoço, eles só conseguem atender até 2 pedidos por hora. Cada pedido atendido gera um lucro de R$50, mas se não atender pelo menos um pedido, a empresa tem um prejuízo fixo de R$200. Nosso objetivo é calcular o lucro esperado nesse período de almoço e decidir se vale a pena aumentar o número de atendentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como os pedidos chegam. Como a taxa média é de 5 pedidos por hora, podemos modelar isso usando a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(N = k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 5 pedidos por hora).
  • $ k $ é o número de ocorrências.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de receber 0, 1, 2 e 3 ou mais pedidos em uma hora usando a distribuição de Poisson.
  1. Nenhum pedido ($ k = 0 $):
k = 0
  1. Um pedido ($ k = 1 $):
P(0) = 5^0 cdot e^-50! = e^-5 approx 0,0067
  1. Dois pedidos ($ k = 2 $):
k = 1
  1. Três ou mais pedidos ($ k \geq 3 $):
P(1) = 5^1 cdot e^-51! = 5e^-5 approx 0,0337

Passo 4

Agora, vamos calcular o lucro esperado com base nas probabilidades acima.
  • Se não houver pedidos ($ k = 0 $):
    • Lucro: R$0 (nenhum pedido a ser atendido e nenhum prejuízo, já que não houve pedidos).
  • Se houver um pedido ($ k = 1 $):
    • Lucro: $ 1 \times 50 = R$50 $.
  • Se houver dois pedidos ($ k = 2 $):
    • Lucro: $ 2 \times 50 = R$100 $.
  • Se houver três ou mais pedidos ($ k \geq 3 $):
    • A empresa só atende 2 pedidos, então lucro: $ 2 \times 50 = R$100 $.
    • Mas, como pelo menos um pedido não foi atendido, há um prejuízo de R$200.
    • Lucro total nesse caso: $ 100 - 200 = -R$100 $.

Passo 5

Vamos agora calcular o lucro esperado combinando todas as possibilidades:
Lucro Esperado = (P(1) times 50) + (P(2) times 100) + (P(k >= 3) times (-100))
Substituindo os valores:
Lucro Esperado = (0,0337 times 50) + (0,0842 times 100) + (0,8754 times -100)
Lucro Esperado = 1,685 + 8,42 - 87,54
Lucro Esperado = -77,435

Resposta

O lucro esperado durante o horário de almoço é de aproximadamente - R$77,44. Isso representa um prejuízo médio. Portanto, seria uma boa ideia considerar aumentar o número de atendentes nesse período para conseguir atender mais pedidos, reduzir os prejuízos e melhorar o lucro da empresa.

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