Uma espira circular de 15 voltas e raio 4 c m está em um campo magnético de 0,4 T na direção x positiva. Determine o fluxo através da espira quando o vetor unitário perpendicular ao plano da espira for
\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})

Passo 1

O enunciado dá uma espira circular de N=15 voltas, raio r=4\text{ cm}, imersa em um campo uniforme \mathbf{B} de módulo B=0,4\text{ T} apontando na direção x positiva. Queremos o fluxo magnético total ligado à espira, sabendo que o versor normal ao plano da espira é
\displaystyle \hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j}).
Vamos usar a definição de fluxo magnético por uma espira de N voltas:
\Psi = N\,\Phi = N\,\bigl(B\,A\,\cos\theta\bigr),
onde A é a área da espira e \theta é o ângulo entre \hat{n} e a direção de \mathbf{B}.

Passo 2

Converter o raio para o SI:
r = 4\text{ cm} = 0,04\text{ m}.

Passo 3

Calcular a área de uma volta:
A = \pi\,r^2 = \pi\,(0,04)^2 = 0,0016\,\pi\;\text{m}^2.

Passo 4

Determinar \cos\theta via produto escalar entre o vetor unitário de \mathbf{B}, que é \hat{i}, e \hat{n}:
\cos\theta = \hat{n}\cdot\hat{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})\cdot\hat{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Calcular o fluxo em uma volta:
\Phi = B\,A\,\cos\theta = 0,4 \times \bigl(0,0016\,\pi\bigr)\times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{0,00064\,\pi}{\sqrt{2}}\;\text{Wb}.

Passo 6

Multiplicar por N=15 voltas para obter o fluxo total ligado à espira:
\Psi = 15\,\Phi = 15\times \frac{0,00064\,\pi}{\sqrt{2}} = \frac{0,0096\,\pi}{\sqrt{2}}\;\text{Wb} \approx 2{,}13\times 10^{-2}\;\text{Wb}.

Resposta

\Psi = \frac{0,0096\,\pi}{\sqrt{2}}\;\text{Wb} \approx 2,13\times 10^{-2}\;\text{Wb}.

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