Uma espira circular de raio desconhecido carrega uma corrente constante. Você mediu o campo magnético no centro da espira e logo em seguida mediu o campo magnético num ponto do eixo de simetria da espira a exatamente 1 metro do seu centro. Se o valor da segunda medição corresponde à metade do valor da primeira, qual é o raio da espira, em metros? (aproxime sua resposta final para dois algarismos).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma espira circular com um raio que não sabemos e que está carregando uma corrente constante. Medimos o campo magnético no centro da espira e depois medimos o campo magnético em um ponto que está no eixo de simetria da espira, a exatamente 1 metro do centro. A segunda medição do campo magnético foi metade da primeira. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da espira, arredondando para dois algarismos.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do campo magnético gerado por uma espira circular no seu centro e em um ponto no seu eixo de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o campo magnético no centro de uma espira circular. Essa fórmula é dada por:
onde:
- $ B_{centro} $ é o campo magnético no centro da espira,
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo (
), - $ I $ é a corrente que passa pela espira,
- $ R $ é o raio da espira.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula para o campo magnético em um ponto no eixo de simetria da espira, a uma distância $ z $ do centro:
onde:
- $ B(z) $ é o campo magnético a uma distância $ z $ do centro ao longo do eixo de simetria.
Passo 4
Segundo o enunciado, a medição do campo magnético no ponto $ z = 1 , m $ é metade do campo magnético no centro. Então, podemos escrever:
Substituindo as fórmulas que temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para encontrar $ R $. Primeiro, podemos cancelar $ \mu_0 I $ dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ (R^2 + z2){3/2} $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2 R $:
Passo 7
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 8
Sabemos que $ z = 1 , m $. Substituindo:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Então:
Passo 9
Subtraindo $ R^6 + 3 R^4 + 3 R^2 + 1 $ de ambos os lados:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
Passo 10
Essa é uma equação polinomial de sexto grau que pode ser difícil de resolver analiticamente. Para simplificar, podemos fazer uma estimativa ou usar métodos numéricos. Vamos tentar valores aproximados para $ R $.
Primeiro, vamos tentar $ R = 1 , m $:
Vamos tentar $ R = 0.5 , m $:
Agora, vamos tentar $ R = 0.8 , m $:
Vamos tentar um valor menor, por exemplo, $ R = 0.3 , m $:
Passo 11
Observamos que a função é negativa para os valores testados, indicando que a solução exata pode exigir métodos mais precisos, como o uso de uma calculadora ou software para encontrar raízes de equações polinomiais. No entanto, para fins de aproximação, podemos considerar que o raio $ R $ é próximo a $ 0.5 , m $.
Resposta
O raio da espira é aproximadamente 0,50 metros.